Własność Banacha-Saksa

Własność Banacha-Saksa – własność niektórych przestrzeni unormowanych polegająca na tym, że każdy ograniczony ciąg punktów w przestrzeni unormowanej ma podciąg zbieżny według średniej (inne nazwy: sumowalny w sensie Cesàro, limesowalny), tzn. jeżeli dla każdego ograniczonego ciągu jej punktów istnieje podciąg o tej własności, że ciąg

jest zbieżny (w sensie normy). Ciągi mające powyższą własność nazywane są ciągami Banacha-Saksa.

Nazwa pojęcia pochodzi o nazwisk polskich matematyków, Stefana Banacha i Stanisława Saksa, którzy rozszerzyli twierdzenie Mazura mówiące, że słaba granica ciągu punktów przestrzeni Banacha jest granicą w sensie normy kombinacji wypukłych wyrazów tego ciągu, o możliwość znalezienia w przestrzeni Lp(0,1), takiego ciągu kombinacji wypukłych wyrazów wyjściowego ciągu, który jest dodatkowo sumowalny w sensie Cesàro[1]. Wynik ten został jeszcze dalej rozszerzany przez Shizuo Kakutaniego na przestrzenie jednostajnie wypukłe[2]. Wiesław Szlenk wprowadził pojęcie słabej własności Banacha-Saksa, zastępując pojęcie ciągu ograniczonego w definicji własności Banacha-Saksa ciągiem słabo zbieżnym do zera oraz udowodnił, że przestrzeń ma tę własność[3]. Definicja obydwu tych własności Banacha-Saksa przenosi się analogicznie na podzbiory przestrzeni unormowanych.

Twierdzenia i przykłady

  • Każda przestrzeń mająca własność Banacha-Saksa jest refleksywna[4]. Istnieją jednak przestrzenie refleksywne, które nie mają tej własności – pierwszy przykład takiej przestrzeni został podany przez Alberta Baernsteina[5].
  • Julian Schreier podał, jako pierwszy, przykład przestrzeni (tzw. przestrzeń Schreiera), która nie ma słabej własności Banacha-Saksa[6]. Udowodnił także, że przestrzeń funkcji ciągłych na liczbie porządkowej również nie ma tej własności.
  • Podciąg ciągu Banacha-Saksa nie musi być ciągiem Banacha-Saksa.
  • p-sumy przestrzeni o własności Banacha-Saksa nadal mają tę własność[7].
  • Istnieje przestrzeń o własności Banacha-Saksa dla której przestrzeń (funkcji całkowalnych z kwadratem w sensie Bochnera o wartościach w ) nie ma tej własności[8].
  • Każdy ograniczony ciąg punktów przestrzeni Banacha zawiera podciąg o tej własności, że każdy podciąg tego ciągu jest ciągiem Banacha-Saksa bądź żaden nie jest ciągiem Banacha-Saksa.
  • Obraz ściśle addytywnej miary wektorowej ma własność Banacha-Saksa[9][10].
  • Jeżeli jest taką przestrzenią Banacha, że jej przestrzeń sprzężona jest jednostajnie wypukła, to ma własność Banacha-Saksa[11].
  • Przestrzeń sprzężona do przestrzeni Schlumprechta ma własność Banacha-Saksa[12].

Operatory Banacha-Saksa

Operator ograniczony między przestrzeniami Banacha i nazywany jest operatorem Banacha-Saksa, jeżeli każdy ograniczony ciąg punktów przestrzeni ma taki podciąg że ciąg

jest zbieżny w przestrzeni Analogicznie definiuje się pojęcie słabego operatora Banacha-Saksa, zastępując warunek ograniczoności ciągu warunkiem słabej zbieżności do zera.

Klasa operatorów Banacha-Saksa tworzy niesymetryczny, domknięty ideał operatorowy. W szczególności rodzina operatorów Banacha-Saksa na przestrzeni Banacha tworzy domknięty ideał algebry operatorów ograniczonych na (analogicznie, rodzina słabych operatorów Banacha-Saksa na również tworzy domknięty ideał).

Własność p-BS i indeks Banacha-Saksa

Jeżeli jest ustaloną liczbą rzeczywistą, to o ciągu ograniczonym elementów przestrzeni Banacha mówi się, że jest p-BS-ciągiem, gdy zawiera taki podciąg że

O przestrzeni Banacha mówi się, że ma własność p-BS jeżeli każdy ciąg jej elementów zbieżny słabo do 0 zawiera podciąg będący p-BS-ciągiem[13][14]. Pojęcie własności p-BS nie uogólnia pojęcia własności Banacha-Saksa. W szczególności, każda przestrzeń Banacha ma własność 1-BS. Zbiór

jest postaci bądź gdzie jest pewną liczbą nie mniejszą od 1. Jeżeli to indeks Banacha-Saksa przestrzeni definiuje się jako natomiast gdy to Przykładem przestrzeni mającej własność 2-BS jest

Przypisy

  1. S. Banach, S. Saks, Sur la convergence forte dans les champs , „Studia Mathematica”, 2 (1930) s. 51–57.
  2. S. Kakutani, Weak convergence in uniformly convex spaces Math. Inst. Osaka Imp. Univ. (1938) s. 165–167.
  3. W. Szlenk, Sur les suites faiblement convergents dans l’espace „Studia Mathematica”, 25 (1969), s. 337–341.
  4. T. Nishiura, D. Waterman, Reflexivity and summability, „Studia Mathematica”, 23 (1963) s. 53–57.
  5. A. Baernstein II, On reflexivity and summability, „Studia Mathematica”, 42 (1972), s. 91–94.
  6. J. Schreier, Ein Gegenbeispiel zur Theorie der swachen Konvergenz Studia Mathematica, 2 (1930) s. 58–62.
  7. J.R. Partington, On the Banach–Saks property, Math. Proc. Cambridge Philos. Soc., 82 (1977) s. 369–374.
  8. S. Guerre, La propriété de Banach–Saks ne pase pas de à d'áprés J. Bourgin, Sem. Anal. Fonctionnelle Ecole Polytechn. Palaiseau (1979–1980), s. 8.
  9. J. Diestel, C.J. Seifert, An averaging property of the range of a vector measure, „Bulletin of the American Mathematical Society”, 82 (1976), s. 907–909.
  10. R. Anantharaman, The range of a vector measure has the Banach-Saks property, „Proceedings of the American Mathematical Society” 66 (1977), s. 183–184 [1].
  11. N. Okada, On the Banach-Saks property, „Proc. Japan Acad. Ser. A Math. Sci.”, Volume 60, Number 7 (1984), s. 246–248. [2].
  12. K. Cho, C. Lee, Banach-Saks property on the dual of the Schlumprecht space, „Kangweon-Kyungki Math. Jour.”, 6 (1998), No. 2, s. 341–348. [3].
  13. E.M. Semenov, F.A. Sukochev, The Banach–Saks index, Mat. Sb., 195:2 (2004), s. 117–140.
  14. S.V. Astashkin, E.M. Semenov, F.A. Sukochev, The Banach-Saks p-property, Math.Ann., 332 (2005), no. 4, s. 879–900.

Bibliografia

  • Joram Lindenstrauss: Handbook of the Geometry of Banach Spaces. T. 1. North Holland, 2001, s. 444. ISBN 0-444-82842-7.
  • Albert Pietsch: History of Banach Spaces and Linear Operators. Wyd. pierwsze. Boston: Birkhäuser, 2007, s. 523–535. ISBN 0-8176-4367-2.

Media użyte na tej stronie

Propozycja DA.svg
Autor: M.Komorniczak, Licencja: CC BY 3.0
Propozycja dla Dobry Artykuł dla PL.WIKI