Ścisła addytywność miar wektorowych

Ścisła addytywność – własność miar wektorowych o wartościach w przestrzeniach Banacha.

Definicja

Niech ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ będzie ciałem podzbiorów zbioru ${\displaystyle M}$ oraz ${\displaystyle E}$ będzie przestrzenią Banacha i niech ${\displaystyle \nu \colon {\mathcal {F}}\to E}$ będzie miarą wektorową. Mówimy, że ${\displaystyle \nu }$ jest ściśle addytywna, gdy dla każdego ciągu ${\displaystyle (A_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ zbiorów parami rozłącznych z ciała ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ szereg ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\nu (A_{n})}$ jest zbieżny według normy.

Mówimy, że rodzina ${\displaystyle \{\nu _{t}\colon {\mathcal {F}}\to E:t\in T\}}$ ściśle addytywnych miar wektorowych jest jednostajnie ściśle addytywna, gdy dla każdego ciągu ${\displaystyle (A_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ zbiorów parami rozłącznych z ciała ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ granica ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\|\sum _{m=n}^{\infty }\nu _{t}(A_{m})\|=0}$ jednostajnie dla każdego ${\displaystyle t\in T.}$

Własności

• Miara wektorowa o skończonym wahaniu jest ściśle addytywna.
• Ściśle addytywna miara wektorowa, określona na ciele zbiorów, jest ograniczona.
• Jeśli ${\displaystyle \{\nu _{t}\colon {\mathcal {F}}\to E:t\in T\}}$ jest rodziną miar wektorowych, wtedy następujące warunki są równoważne:

1. ${\displaystyle \{\nu _{t}\colon t\in T\}}$ jest rodziną jednostajnie ściśle addytywną.
2. ${\displaystyle \{x^{\star }\nu _{t}\colon t\in T\,x^{\star }\in E^{\star },\|x^{\star }\|\leqslant 1\}}$ jest rodziną jednostajnie ściśle addytywną.
3. Jeśli ${\displaystyle (A_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ jest ciągiem zbiorów parami rozłącznych z ciała ${\displaystyle {\mathcal {F}},}$ wtedy ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\|\nu _{t}(A_{n})\|=0}$ jednostajnie dla każdego ${\displaystyle t\in T.}$
4. Jeśli ${\displaystyle (A_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ jest ciągiem zbiorów parami rozłącznych z ciała ${\displaystyle {\mathcal {F}},}$ wtedy ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\|\nu _{t}\|(A_{n})=0}$ jednostajnie dla każdego ${\displaystyle t\in T.}$
5. ${\displaystyle \{|x^{\star }\nu _{t}|\colon t\in T\,x^{\star }\in E^{\star },\|x^{\star }\|\leqslant 1\}}$ jest rodziną jednostajnie ściśle addytywną^[1].

Zobacz też

• addytywność
• miara

Przypisy