Ślad (algebra liniowa)

Ślad macierzy – suma elementów na głównej przekątnej macierzy kwadratowej^[1].

Definicja formalna

Niech ${\displaystyle A}$ będzie macierzą kwadratową stopnia ${\displaystyle n.}$ Śladem macierzy ${\displaystyle A}$ nazywamy wielkość

${\displaystyle \operatorname {tr} (A)=\sum _{i=1}^{n}a_{ii}=a_{11}+a_{22}+\dots +a_{nn}.}$

Stosuje się również oznaczenia ${\displaystyle \operatorname {Tr} (A)}$ oraz ${\displaystyle \operatorname {trace} (A).}$ Macierz, której ślad jest równy zeru nazywa się czasami macierzą bezśladową.

Własności

• Ślad jest operatorem liniowym. Niech ${\displaystyle A,B\in M_{n}(K)}$ oraz ${\displaystyle r\in K,}$ wówczas:
  • ${\displaystyle \operatorname {tr} (A+B)=\operatorname {tr} (A)+\operatorname {tr} (B)}$ – addytywność operacji liczenia śladu,
  • ${\displaystyle \operatorname {tr} (rA)=r\operatorname {tr} (A)}$ – jednorodność operacji liczenia śladu.
• Przekątna główna macierzy nie ulega zmianie przy transpozycji, stąd

  ${\displaystyle \operatorname {tr} (A)=\operatorname {tr} (A^{T}).}$

• Jeśli ${\displaystyle A\in M_{n},B\in M_{n},}$ to

${\displaystyle \operatorname {tr} (AB)=\operatorname {tr} (BA).}$

• Jeśli ${\displaystyle A\in M_{n},B\in M_{n},C\in M_{n},}$ to

${\displaystyle \operatorname {tr} (ABC)=\operatorname {tr} (CAB)=\operatorname {tr} (BCA)}$ (wszystkie przesunięcia cykliczne), niekoniecznie jednak ${\displaystyle \operatorname {tr} (ABC)=\operatorname {tr} (BAC).}$

Przekształcenia liniowe

Ślad macierzy podobnych jest identyczny, ponieważ dla dowolnej macierzy odwracalnej ${\displaystyle P}$ zachodzi

${\displaystyle \operatorname {tr} (P^{-1}AP)=\operatorname {tr} (PP^{-1}A)=\operatorname {tr} (A).}$

Niech ${\displaystyle f\colon V\to V}$ będzie przekształceniem liniowym określonym na przestrzeni ${\displaystyle V.}$ Powyższa obserwacja pozwala na zdefiniowanie śladu endomorfizmu przestrzeni liniowych jako śladu jego macierzy w dowolnej bazie.

Ślad endomorfizmu można też opisać jawnie: jeżeli ${\displaystyle X}$ jest ${\displaystyle n}$ wymiarową przestrzenią wektorową, a ${\displaystyle \theta }$ – n-liniową niezerową formą alternującą, to odwzorowaniu ${\displaystyle T}$ można przyporządkować formę n-liniową:

${\displaystyle \theta ^{T}:\underbrace {X\times \ldots \times X} _{n}\ni (x_{1},\dots ,x_{n})\longmapsto \theta (Tx_{1},x_{2},\dots ,x_{N})+\theta (x_{1},Tx_{2},\dots ,x_{N})+\ldots +\theta (x_{1},x_{2},\dots ,Tx_{N})}$

Forma ta jest równa ${\displaystyle \tau \theta ,}$ a stałą proporcjonalności można nazwać ${\displaystyle \operatorname {tr} T.}$ Da się pokazać, że taka zdefiniowany ślad jest równy śladowi macierzy endomorfizmu w dowolnej bazie.

Niech ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\dots ,\lambda _{n}}$ będą wartościami własnymi macierzy ${\displaystyle A.}$ Ponieważ ${\displaystyle A}$ można przekształcić przez podobieństwo (poprzez zmianę bazy) do macierzy w postaci Jordana, której wartości własne znajdują się na głównej przekątnej, to zachodzi

${\displaystyle \operatorname {tr} (A)=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}.}$

Bezpośrednią konsekwencją powyższego jest równość

${\displaystyle \det(e^{A})=e^{\operatorname {tr} (A)}.}$

Operatory śladowe

Można podać ogólniejszą definicję, dotyczącą nie tylko macierzy, ale również operatorów przestrzeni Hilberta.

Niech ${\displaystyle H}$ będzie przestrzenią Hilberta, ${\displaystyle (e_{i})_{i\in I}}$ jej bazą ortonormalną oraz niech

${\displaystyle {\mathcal {B}}_{1}(H)=\{AB:A,B\in {\mathcal {B}}_{2}(H)\},}$

gdzie ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{2}(H)}$ oznacza zbiór wszystkich operatorów Hilberta-Schmidta przestrzeni ${\displaystyle H,}$ tj. takich operatorów liniowych i ciągłych ${\displaystyle A\colon H\to H,}$ że

${\displaystyle \|A\|_{2}:=\left(\sum _{i\in I}\|Ae_{i}\|^{2}\right)^{\frac {1}{2}}<\infty .}$

Funkcja ${\displaystyle \operatorname {tr} \colon {\mathcal {B}}_{1}(H)\to \mathbb {C} ,}$ dana wzorem

${\displaystyle \operatorname {tr} (T)=\sum _{i\in I}\langle Te_{i},e_{i}\rangle }$

nazywana jest śladem.

Operatory należące do ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{1}(H)}$ nazywane operatorami śladowymi.

Powyższa definicja jest poprawna i nie zależy od wyboru bazy ortonormalnej przestrzeni ${\displaystyle H.}$ W przypadku, gdy ${\displaystyle H}$ jest przestrzenią skończeniewymiarową, to każdy jej operator reprezentowany jest przez pewną macierz. Wówczas wartość operatora śladowego na dowolnym jej operatorze pokrywa się z wartością śladu macierzy tego operatora.

Pojęcie śladu wprowadza się także dla szerokiej klasy algebr Banacha, na przykład w kontekście nieprzemiennych przestrzeni ${\displaystyle L_{p}}$ na algebrach von Neumanna.

Przypisy

Bibliografia

• F.W. Gehring, P.R. Halmos, C.C Moore: A Course in Functional Analysis. Nowy Jork: Springer-Verlag, 1985.