Średnia geometryczna

Średnią geometryczną ${\displaystyle n}$ dodatnich liczb ${\displaystyle a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}}$ nazywamy liczbę^[1]:

${\displaystyle G:={\sqrt[{n}]{a_{1}\cdot a_{2}\cdot \ldots \cdot a_{n}}}.}$

W szczególności średnia geometryczna liczb ${\displaystyle a}$ i ${\displaystyle b}$ jest równa ${\displaystyle {\sqrt {a\cdot b}}}$.

Na przykład średnią geometryczną liczb 2, 2, 5 i 7 jest

${\displaystyle G={\sqrt[{4}]{2\cdot 2\cdot 5\cdot 7}}\approx 3{,}44.}$

Jest ona szczególnym przypadkiem średniej potęgowej rzędu 0^[2]:

${\displaystyle G=\lim _{k\to 0}{\sqrt[{k}]{{\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}a_{i}^{k}}}={\sqrt[{n}]{a_{1}\cdot a_{2}\cdot \ldots \cdot a_{n}}}}$.

Średnia ta jest stosowana, gdy zmienna ma rozkład logarytmicznie normalny. Istnieje również wariant średniej geometrycznej nazywany ważoną średnią geometryczną.

Zobacz też

• średnia arytmetyczna
• nierówność między średnimi potęgowymi
• nierówności między średnimi

Przypisy