Aksjomat Pascha

Aksjomat Pascha – aksjomat płaszczyzny euklidesowej niedający się wyprowadzić z pięciu aksjomatów Euklidesa:

Dane są na płaszczyźnie prosta ${\displaystyle l}$ i punkty ${\displaystyle P}$ i ${\displaystyle Q}$ spoza ${\displaystyle l}$ takie, że odcinek ${\displaystyle PQ}$ przecina ${\displaystyle l.}$ Jeśli ${\displaystyle R}$ jest kolejnym punktem poza ${\displaystyle l,}$ to dokładnie jeden z odcinków ${\displaystyle RP}$ lub ${\displaystyle RQ}$ przecina ${\displaystyle l\,{}}$^[a].

Inna postać aksjomatu:

Prosta na płaszczyźnie, która nie przechodzi przez żaden z wierzchołków trójkąta i przecina jeden jego bok, przecina jeszcze drugi.

Aksjomat Pascha pozwala zdefiniować pojęcie półpłaszczyzny. W tym celu wprowadza się pojęcie leżenia dwóch punktów po jednej stronie prostej:

Punkty ${\displaystyle P,Q}$ leżą po jednej stronie prostej ${\displaystyle l,}$ jeśli odcinek ${\displaystyle PQ}$ jest rozłączny z prostą ${\displaystyle l}$.

Tak zdefiniowana relacja jest relacją równoważności, której zwrotność i symetria są trywialne, zaś przechodniość tej relacji jest kontrapozycją aksjomatu Pascha.

Dowodzi się, że dla relacji leżenia po jednej stronie prostej istnieją dokładnie dwie klasy abstrakcji. Każdą z nich nazywa się półpłaszczyzną wyznaczoną przez daną prostą. Oczywiście z definicji, każda z tych półpłaszczyzn jest zbiorem wypukłym.

Aksjomat Pascha został sformułowany przez XIX-wiecznego matematyka Moritza Pascha w Vorlesungen übr neuere Geometrie, Lepizig 1882. David Hilbert w swojej aksjomatyce zalicza go do tzw. aksjomatów porządku.

Uwagi

Bibliografia

• Jerzy Mioduszewski. Wykłady z topologii. Topologia przestrzeni euklidesowych. „Skrypty Uniwersytetu Śląskiego”. 501, 1994. Katowice: Wydawnictwo Uniwersytetu Śląskiego. ISSN 0239-6432.