Aksjomat ciągłości

Aksjomat ciągłości (pewnik Dedekinda) – aksjomat zbioru liczb rzeczywistych sformułowany przez Richarda Dedekinda w 1872[1][2]. Aksjomat ten postuluje, że każdy niepusty i ograniczony z góry podzbiór zbioru liczb rzeczywistych ma kres górny.

Alternatywnie: każdy niepusty i ograniczony z dołu podzbiór zbioru liczb rzeczywistych ma kres dolny.

Aksjomat ma odpowiadać naszej intuicji, że oś liczbowa jest ciągła, nie istnieją w niej luki między kolejnymi liczbami – każdemu miejscu na osi odpowiada konkretna liczba rzeczywista.

Następujące twierdzenie jest równoważne z aksjomatem ciągłości i samo mogłoby być przyjęte jako aksjomat: każdy rosnący i ograniczony z góry ciąg liczb rzeczywistych jest zbieżny.

W zbiorze liczb wymiernych tak nie jest: na przykład zbiór tych liczb wymiernych, których kwadraty są mniejsze od 2, jest niepusty (należy do niego np. 1), ograniczony z góry (każda liczba tego zbioru jest na przykład mniejsza od 2), ale nie ma kresu górnego — nie ma liczby wymiernej, która byłaby najmniejszym ograniczeniem górnym tego zbioru.

Aksjomat ciągłości gwarantuje, że w zbiorze liczb rzeczywistych sytuacja taka nie występuje, tzn. zawsze istnieje liczba rzeczywista, która jest najmniejszym ograniczeniem górnym.

Jeszcze inne sformułowanie aksjomatu ciągłości korzysta z pojęcia przekroju Dedekinda zbioru liczb rzeczywistych: jeżeli zbiory A i B tworzą przekrój Dedekinda zbioru liczb rzeczywistych, to albo w A istnieje liczba największa, albo w B - najmniejsza.

Zobacz też

Przypisy

  1. ↑ Dedekind, Richard: "Stetigkeit und Irrationale Zahlen", 1872.
  2. ↑ Dedekind, Richard: Essays on the Theory of Number. Tłumaczenie angielskie essejów Stetigkeit und Irrationale Zahlen i Was sind und was sollen die Zahlen?: W. W. Beman. The Open Court Publishing Company, Londyn 1924.