Algebra Banacha

Algebra Banacha – przestrzeń Banacha z określonym dodatkowym działaniem mnożenia wraz z którym tworzy ona algebrę nad ciałem liczb rzeczywistych (algebrę rzeczywistą) bądź zespolonych (algebrę zespoloną) i w której norma jest podmultiplikatywna, tj.

${\displaystyle \|a\cdot b\|\leqslant \|a\|\,\|b\|\quad (a,b\in A).}$

Definicja ta ma również sens dla przestrzeni unormowanych, które niekoniecznie są zupełne – w takim przypadku mówi się o algebrach unormowanych. Jeżeli działanie mnożenia jest przemienne, to mówi się odpowiednio o przemiennych algebrach unormowanych i przemiennych algebrach Banacha.

Istnieją zasadnicze różnice w teorii zespolonych i rzeczywistych algebr Banacha wynikające z gorszych własności spektralnych tych drugich, skąd klasyczna teoria algebr Banacha dotyczy głównie zespolonych algebr Banacha. W analizie ${\displaystyle p}$-adycznej rozważa się również zdefiniowane podobnie jak wyżej algebry Banacha nad ciałem liczb ${\displaystyle p}$-adycznych (bądź innym ciałem z waluacją), jednak zwykle teorii tej nie zalicza się do teorii algebr Banacha. W niniejszym artykule rozważane będą głównie zespolone algebry Banacha.

Nazwa algebra Banacha została wprowadzona w 1945 przez Warrena Ambrose’a^[1].

Jedynka w algebrze Banacha

Definicja algebry Banacha nie wymaga by miała ona jedynkę, tj. element neutralny względem mnożenia. Skrajnym przykładem algebry Banacha bez jedynki jest dowolna przestrzeń Banacha ${\displaystyle A}$ z trywialnym mnożeniem, tj. ${\displaystyle a\cdot b=0(a,b\in A).}$ Każdą algebrę Banacha ${\displaystyle A}$ można jednak rozszerzyć o jedynkę do większej algebry Banacha (tj. zbudować jej ujedynkowienie) w taki sposób by ${\displaystyle A}$ była izometryczna z ideałem o kowymiarze 1 w ujedynkowieniu. Dokładniej, w sumie prostej ${\displaystyle A\oplus \mathbb {C} }$ wprowadza się działanie mnożenia wzorem

${\displaystyle (a,\lambda )\cdot (b,\mu )=(ab+\lambda b+\mu a,\lambda \mu )\quad (a,b\in A,\lambda ,\mu \in \mathbb {C} ),}$

wraz z którą jest ona algebrą. Algebra ta jest algebrą Banacha z normą

${\displaystyle \|(a,\lambda )|=\|a\|+|\lambda |\;(a\in A,\lambda \in \mathbb {C} )}$^[2].

Powyższe konstrukcje mają również sens dla rzeczywistych algebr Banacha; należy jedynie zastąpić wszędzie ${\displaystyle \mathbb {C} }$ przez ${\displaystyle \mathbb {R} .}$

Ciągłość mnożenia w algebrze Banacha

W algebrze Banacha operacja mnożenia jest ciągła^[3]. Jest to warunek charakteryzujący algebry będące jednocześnie przestrzeniami Banacha co do przenormowania. Dokładniej, jeżeli ${\displaystyle A}$ jest taką algebrą, która jest przestrzenią Banacha z normą ${\displaystyle |{\cdot }|}$ oraz mnożenie w niej jest ciągłe ze względu na każdą ze zmiennych, to istnieje norma równoważna na ${\displaystyle A}$ wraz z którą ${\displaystyle A}$ jest algebrą Banacha. Na przykład funkcja

${\displaystyle \|a\|=\sup\{|ab|\colon b\in A,|b|=1\}\;(a\in A).}$

jest normą równoważną normie ${\displaystyle |{\cdot }|}$ oraz jest podmultiplikatywna, tj. ${\displaystyle A}$ wyposażona w tę normę jest algebrą Banacha^[4].

Przykłady

• Niech ${\displaystyle X}$ lokalnie zwartą przestrzenią Hausdorffa oraz niech ${\displaystyle C_{0}(X)}$ oznacza algebrę funkcji ciągłych o wartościach skalarnych, które znikają w nieskończoności, tj. takich funkcji ciągłych ${\displaystyle f,}$ że dla każdego ${\displaystyle \varepsilon >0}$ zbiór

${\displaystyle \{x\in X\colon |f(x)|\geqslant \varepsilon \}}$

jest zwarty. W przypadku, gdy przestrzeń ${\displaystyle X}$ jest zwarta, każda funkcja ciągła na ${\displaystyle X}$ spełnia ten warunek, skąd przyjmuje się oznaczenie ${\displaystyle C(X).}$ Algebra ${\displaystyle C_{0}(X)}$ z normą supremum:

${\displaystyle \|f\|=\sup\{|f(x)|\colon x\in X\}\quad (f\in C_{0}(X))}$

jest przemienną algebrą Banacha, która ma jedynkę wtedy i tylko wtedy, gdy przestrzeń ${\displaystyle X}$ jest zwarta (jedynką jest wówczas funkcja stale równa 1).

• Przykładem skończenie wymiarowej algebry Banacha jest przestrzeń ${\displaystyle M_{n}}$ macierzy kwadratowych stopnia ${\displaystyle n}$ z działaniem zwykłego mnożenia macierzy i dowolną normą macierzową.
• Niech ${\displaystyle E}$ będzie przestrzenią Banacha oraz niech ${\displaystyle B(E)}$ oznacza algebrę wszystkich operatorów ograniczonych ${\displaystyle T\colon E\to E}$ ze składaniem jako mnożeniem. Wówczas ${\displaystyle B(E)}$ z normą operatorową

${\displaystyle \|T\|=\sup\{\|Tx\|\colon x\in E,\|x\|\leqslant 1\}\quad (T\in B(E))}$

jest algebrą Banacha z jedynką (jedynką jest w tym wypadku operator identycznościowy). Algebra ta jest przemienna wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle \dim E\leqslant 1.}$

• Niech ${\displaystyle L_{1}(\mathbb {R} )}$ oznacza przestrzeń funkcji całkowalnych w sensie Lebesgue’a na prostej z mnożeniem określonym przez splot, tj.

  ${\displaystyle (f*g)(x)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t)g(x-t)\mathrm {d} t\;(f,g\in L_{1}(\mathbb {R} )).}$

Jest to przykład algebry Banacha bez jedynki, którą jednak można aproksymować w takim sensie, iż istnieje ciąg ${\displaystyle (e_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ o wyrazach z przestrzeni ${\displaystyle L_{1}(\mathbb {R} )}$ o tej własności, że ${\displaystyle \|e_{n}\|=1}$ dla każdej liczby naturalnej ${\displaystyle n}$ oraz

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }~\|e_{n}*f-f\|=\lim _{n\to \infty }~\|f*e_{n}-f\|=0}$

dla każdej funkcji ${\displaystyle f\in L_{1}(\mathbb {R} ).}$ Ogólniej, dla każdej lokalnie zwartej grupy topologicznej Hausdorffa z określoną na niej miarą Haara ${\displaystyle \mu ,}$ przestrzeń ${\displaystyle L_{1}(G)}$ funkcji ${\displaystyle \mu }$-całkowalnych na ${\displaystyle G}$ z działaniem mnożenia splotowego określonego niżej jest algebrą Banacha:

${\displaystyle (xy)(g)=\int \limits _{G}x(h)y\left(h^{-1}g\right)\mu (\mathrm {d} h),\;x,y\in L^{1}(G).}$

Algebra ${\displaystyle L_{1}(G)}$ ma jedynkę wtedy i tylko wtedy, gdy grupa ${\displaystyle G}$ jest dyskretna.

• Kwaterniony tworzą 4-wymiarową algebrę Banacha z normą daną przez ich moduł.
• Algebra Wienera.

Otwartość grupy elementów odwracalnych a ciągłość operacji brania elementu odwrotnego

Niech ${\displaystyle A}$ będzie (rzeczywistą bądź zespoloną) algebrą Banacha z jedynką 1. Zbiór ${\displaystyle \mathrm {GL} (A)}$ złożony ze wszystkich elementów odwracalnych w ${\displaystyle A}$ jest niepusty, gdyż zawiera 1 oraz jest grupą z mnożeniem dziedziczonym z ${\displaystyle A.}$ Jeżeli ${\displaystyle a\in A}$ oraz

${\displaystyle \delta :=\|1-a\|<1,}$

to ${\displaystyle a\in \mathrm {GL} (A).}$ Ponadto

${\displaystyle \|a^{-1}\|\leqslant {\frac {1}{1-\|1-a\|}}}$^[5].

Dowód. Niech ${\displaystyle M<N}$ będą liczbami naturalnymi. Wówczas

${\displaystyle {\Big \|}\sum _{k=0}^{N}(1-a)^{k}-\sum _{k=0}^{M}(1-a)^{k}{\Big |}={\Big \|}\sum _{k=M+1}^{N}(1-a)^{k}{\Big \|}\leqslant \sum _{k=M+1}^{N}\|1-a\|^{k}\leqslant {\frac {\delta ^{M}}{1-\delta }}.}$

Ponieważ prawa strona powyższej nierówności jest zbieżna do 0, ciąg sum częściowych ciągu ${\displaystyle (1-a)^{k}}$ jest ciągiem Cauchy’ego, a więc jest on zbieżny do pewnego elementu ${\displaystyle b\in A}$ (z zupełności ${\displaystyle A}$), tj.

${\displaystyle b=\sum _{k=0}^{\infty }(1-a)^{k}.}$

Ponadto

${\displaystyle {\begin{aligned}ab&=(1-(1-a))\textstyle \sum _{k=0}^{\infty }(1-a)^{k}\\&=lim_{n\to \infty }(1-(1-a))\textstyle \sum _{k=0}^{n}(1-a)^{k}\\&=\lim _{n\to \infty }(1-(1-a)^{n+1})\\&=1\end{aligned}}}$

oraz

${\displaystyle {\begin{aligned}ba&=\textstyle \sum _{k=0}^{\infty }(1-a)^{k}(1-(1-a))\\&=\lim _{n\to \infty }\textstyle \sum _{k=0}^{n}(1-a)^{k}(1-(1-a))\\&=\lim _{n\to \infty }(1-(1-a)^{n+1})\\&=1,\end{aligned}}}$

ponieważ ${\displaystyle \delta <1.}$ Pokazuje to, że ${\displaystyle b=a^{-}1.}$ Co więcej,

${\displaystyle \|b\|=\lim _{n\to \infty }{\Big \|}\sum _{k=0}^{n}(1-a)^{k}{\Big \|}\leqslant \sum _{k=0}^{n}{\big \|}(1-a){\big \|}^{k}={\frac {1}{1-\|1-a\|}}.}$

Z powyższego wynika, że grupa ${\displaystyle \mathrm {GL} (A)}$ jest otwarta (w topologii pochodzącej od normy ${\displaystyle A}$)^[6].

Dowód. Niech ${\displaystyle u\in A}$ będzie elementem odwracalnym oraz niech ${\displaystyle a\in A}$ będzie dowolne. Wówczas ${\displaystyle a=u(1-(1-u^{-1}a)).}$ W przypadku gdy ${\displaystyle \|a-u\|<\|u^{-1}\|^{-1},}$ element ${\displaystyle a}$ jest również odwracalny ponieważ

${\displaystyle \|1-u^{-1}a\|\leqslant \|u^{-1}\|\,\|a-u\|<1,}$

więc element ${\displaystyle u^{-1}a}$ (a więc i samo ${\displaystyle a}$) jest odwracalny.

Ostatecznie, funkcja

${\displaystyle a\mapsto a^{-1}\quad (a\in \mathrm {GL} (A))}$

jest ciągła, tj. ${\displaystyle \mathrm {GL} (A)}$ jest grupą topologiczną^[7].

Dowód. Niech ${\displaystyle a,b\in \mathrm {GL} (A).}$ Jeżeli ${\displaystyle \|a-b\|<(2\|a^{-1}\|)^{-1},}$ to ${\displaystyle \|1-a^{-1}b\|<2^{-1}.}$

Stąd

${\displaystyle \|b^{-1}\|\leqslant \|b^{-1}a\|\|a\|=\|(a^{-1}b)^{-1}\|\|a\|\leqslant 2\|a^{-1}\|.}$

Ostatecznie

${\displaystyle \|a^{-1}-b^{-1}\|\leqslant \|a^{-1}(a-b)b^{-1}\|\leqslant 2\|a^{-1}\|^{2}\ \|a-b\|,}$

co dowodzi ciągłości operacji brania elementu odwrotnego.

Ideały i ilorazowe algebry Banacha

Niech ${\displaystyle A}$ będzie algebrą Banacha oraz niech ${\displaystyle I}$ będzie domkniętym ideałem dwustronnym. W szczególności, ${\displaystyle I}$ jest domkniętą podprzestrzenią liniową, więc przestrzeń ilorazowa ${\displaystyle A/I}$ jest przestrzenią Banacha. Ponieważ ${\displaystyle I}$ jest ideałem dwustronnym, ${\displaystyle A/I}$ jest również algebrą. Algebra ta jest algebrą Banacha, tj. norma ilorazowa jest podmultiplikatywna.

Dowód. Niech ${\displaystyle a,b\in A.}$ Wówczas

${\displaystyle {\begin{aligned}\|ab+I\|&=\textstyle \inf _{c\in ab+I}\|c\|\\&=\textstyle \inf _{c_{1}\in a+I,c_{2}\in b+I}\|c_{1}c_{2}\|\\&\leqslant \textstyle \inf _{c_{1}\in a+I,c_{2}\in b+I}\|c_{1}\|\cdot \|c_{2}\|\\&\leqslant \textstyle \inf _{c_{1}\in a+I}\|c_{1}\|\cdot \inf _{c_{2}\in b+I}\|c_{2}\|\\&=\|a+I\|\cdot \|b+I\|.\end{aligned}}}$

Powyższa nierówność kończy dowód, ponieważ każdy element ${\displaystyle A/I}$ jest postaci ${\displaystyle a+I}$ dla pewnego ${\displaystyle a\in A}$^[8].

Z ciągłości działań w algebrze Banacha wynika, że jeżeli ${\displaystyle I}$ jest dowolnym ideałem w ${\displaystyle A,}$ to jego domknięcie też jest ideałem w ${\displaystyle A.}$

Przykłady

• Niech ${\displaystyle X}$ będzie zwartą przestrzenią Hausdorffa. Wówczas każdy domknięty ideał ${\displaystyle I}$ w ${\displaystyle C(X)}$ jest postaci

${\displaystyle I=\{f\in C(X)\colon f|_{K}=0\}}$

dla pewnego zwartego podzbioru ${\displaystyle K\subseteq X.}$ Algebra ilorazowa ${\displaystyle C(X)/I}$ jest wówczas izometrycznie izomorficzna jako algebra Banacha z ${\displaystyle C_{0}(X\setminus K)}$^[9][10].

• Dla każdej przestrzeni Banacha ${\displaystyle E,}$ zbiór ${\displaystyle K(E)}$ złożony ze wszystkich operatorów zwartych na ${\displaystyle E}$ jest domkniętym ideałem w ${\displaystyle B(E).}$ Algebra ilorazowa ${\displaystyle B(E)/K(E)}$ bywa nazywana algebrą Calkina przestrzeni ${\displaystyle E}$ (czasami nazwa ta jest rezerwowana dla przypadku, gdy ${\displaystyle E}$ jest ośrodkową przestrzenią Hilberta^[11]).

Przemienne algebry Banacha

Podstawowym przykładem przemiennej algebry Banacha jest algebra ${\displaystyle C_{0}(X)}$ funkcji ciągłych o własnościach skalarnych na lokalnie zwartej przestrzeni Hausdorffa ${\displaystyle X,}$ które znikają w nieskończoności. Jeżeli ${\displaystyle A}$ jest przemienną algebrą Banacha, to rodzina jej maksymalnych ideałów modularnych ${\displaystyle \Delta _{A}}$ z topologią Gelfanda jest (możliwie pustą) przestrzenią lokalnie zwartą Hausdorffa. Transformata Gelfanda

${\displaystyle \Phi \colon A\to C_{0}(\Delta _{A})}$

jest ciągłym homomorfizmem, który jest różnowartościowy i ma gęsty obraz w przypadku, gdy ${\displaystyle A}$ jest pół-prosta w sensie Jacobsona, tj. gdy niezerowe funkcjonały liniowo-multiplikatywne oddzielają punkty w ${\displaystyle A.}$

Zobacz też

• C*-algebra
• sprzężona algebra Banacha

Przypisy

Bibliografia

• Ronald G. Douglas: Banach Algebra Techniques in Operator Theory. Nowy Jork: Springer-Verlag, 1998.
• Eberhard Kaniuth: A Course in Commutative Banach Algebras. Nowy Jork: Springer-Verlag, 2009, seria: Grad. Texts in Math., vol. 246.
• Richard V. Kadison, John. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras, Elementary Theory. Nowy Jork: Academic Press, 1983.

Literatura dodatkowa

• William Arveson: A Short Course on Spectral Theory. Nowy Jork: Springer-Verlag, 2001.