Algebra abstrakcyjna

Permutacje kostki Rubika mają strukturę grupy. Grupa to podstawowe pojęcie algebry abstrakcyjnej.

Algebra abstrakcyjna (dawniej algebra współczesna^[1]) – dział matematyki zajmujący się badaniem struktur algebraicznych oraz ich homomorfizmów^[1][2][3]. Strukturami algebraicznymi są m.in.: grupy^{[1][4][5][6][7][8][9][10]}, półgrupy^[10], pierścienie^{[1][6][7][9][11][12][13][10]}, ciała^{[1][6][7][9][12][14][15][10]}, moduły^{[1][6][16][10]}, ideały^[17], przestrzenie wektorowe^{[6][9][18][10]}, grupoidy^[19], algebry nad ciałami^[20][10]. Za najważniejsze struktury uważa się grupy, pierścienie i ciała^[7]. Do badania tych struktur wykorzystuje się homomorfizmy i inne narzędzia^[6]. Określenie algebra abstrakcyjna zostało wprowadzone na początku XX wieku dla odróżnienia tej dziedziny nauki od innych części algebry^[2]. Niekiedy za części algebry abstrakcyjnej uznaje się także następujące dyscypliny matematyczne: algebrę liniową, elementarną teorię liczb i matematykę dyskretną^[7]. Na przykład Ash przydzielił do algebry abstrakcyjnej następujące obszary matematyki: logikę matematyczną i podstawy matematyki, elementarną arytmetykę, elementarną teorię liczb, nieformalną teorię grup, algebrę liniową i teorię operatorów liniowych^[7][21].

Algebraik Claude Chevalley twierdził, że algebra przede wszystkim stanowi język matematyki i nie istnieje sama dla siebie, lecz jej kierunki rozwoju są uzależnione od potrzeb w innych dziedzinach matematyki^[22]. Hermann Weyl w swym artykule Topologie und abstrakte Algebra als zwei Wege mathematischen Verstandisse (1932) stwierdził, iż algebra abstrakcyjna oraz topologia są głównymi drogami zrozumienia matematycznego^[22]. Takie ujęcie roli algebry abstrakcyjnej w matematyce może uzasadniać algebraizację całej matematyki, rozpoczętą na przełomie XIX i XX wieku^[22]. Algebraizacja matematyki polega na abstrakcyjnym formułowaniu problemów matematycznych w postaci algebraicznej^[9]. Osiągane tą metodą wyniki łączą zazwyczaj wiele pozornie odległych działów matematyki i często są zaskakujące^[9].

Przypisy

Bibliografia

• Bolesław Gleichgewicht, Elementy algebry abstrakcyjnej, Warszawa 1974.