Algebra dyskowa

Algebra dyskowa – w analizie funkcjonalnej i zespolonej zbiór funkcji holomorficznych (zwykle oznaczany ${\displaystyle A\left(\mathbb {D} \right)}$)

${\displaystyle f\colon \mathbb {D} \to \mathbb {C} ,}$

gdzie ${\displaystyle \mathbb {D} }$ jest otwartym kołem jednostkowym ${\displaystyle (z\in \mathbb {D} \Leftrightarrow |z|<1)}$ w płaszczyźnie zespolonej ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$ a ${\displaystyle f}$ przedłuża się do funkcji ciągłej na domknięciu tego okręgu ${\displaystyle {\overline {\mathbb {D} }}}$^[1]. Inaczej mówiąc,

${\displaystyle A(\mathbb {D} )=H^{\infty }(\mathbb {D} )\cap C({\overline {\mathbb {D} }}),}$

gdzie ${\displaystyle H^{\infty }\left(\mathbb {D} \right)}$ oznacza przestrzeń Banacha funkcji ograniczonych, analitycznych na kole jednostkowym ${\displaystyle \mathbb {D} }$ (tzw. przestrzeń Hardy’ego). Innymi słowy jest to przestrzeń funkcji holomorficznych na otwartym kole jednostkowym i ciągłych na domkniętym kole jednostkowym^[2]. Jeśli dodatkowo wyposażymy tę przestrzeń w punktowe dodawanie dane wzorem ${\displaystyle \left(f+g\right)(z)=f(z)+g(z)}$ oraz mnożenie ${\displaystyle \left(fg\right)(z)=f(z)g(z),}$ przestrzeń ta staje się algebrą nad ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$ ponieważ jest zamknięta na dodawanie i mnożenie.

Definiując na algebrze dyskowej normę supremum:

${\displaystyle \|f\|=\sup\{|f(z)|\mid z\in \mathbb {D} \}=\max\{|f(z)|\mid z\in {\overline {\mathbb {D} }}\},}$

tak skonstruowana algebra jest przemienną algebrą Banacha będącą algebrą jednostajną^[2].

Z konstrukcji algebry dyskowej wynika, że jest ona domkniętą podalgebrą przestrzeni Hardy’ego ${\displaystyle H^{\infty }\left(\mathbb {D} \right),}$ wystarczy bowiem zauważyć, że ${\displaystyle A\left(\mathbb {D} \right)\subseteq H^{\infty }\left(\mathbb {D} \right)}$ oraz jest to przestrzeń domknięta (bo jest przestrzenią Banacha), więc tym samym z zamkniętości na dodawanie i mnożenie jest domkniętą podalgebrą przestrzeni Hardy’ego.

Przypisy

Bibliografia

• Przemysław Wojtaszczyk: Banach spaces for analysts. Cambridge University Press, 1991. ISBN 0-521-35618-0. (ang.).