Algebra funkcyjna

Algebra funkcyjna (albo algebra jednostajna) – algebra Banacha ${\displaystyle A}$ będąca domkniętą podalgebrą algebry ${\displaystyle C^{b}(K)}$ wszystkich ograniczonych funkcji ciągłych określonych na przestrzeni regularnej ${\displaystyle K}$ z normą supremum, która zawiera funkcje stałe oraz rozdziela punkty w ${\displaystyle K}$ (tzn. dla pary różnych punktów ${\displaystyle x}$ i ${\displaystyle y}$ przestrzeni ${\displaystyle K}$ istnieje taka funkcja ${\displaystyle f}$ z algebry ${\displaystyle A,}$ że ${\displaystyle f(x)\neq f(y)}$). W przypadku, gdy ${\displaystyle K}$ jest przestrzenią zwartą, to każda funkcja ciągła na ${\displaystyle K}$ jest ograniczona oraz algebra ${\displaystyle C^{b}(K),}$ oznaczana w tym przypadku krótko przez ${\displaystyle C(K)}$ ma jedynkę.

Przykłady

Niech ${\displaystyle K}$ będzie zwartym podzbiorem płaszczyzny zespolonej.

• Niech ${\displaystyle P(K)}$ i ${\displaystyle R(K)}$ oznaczają domknięcie w ${\displaystyle C(K)}$ algebr złożonych, odpowiednio, z wielomianów i funkcji wymiernych na ${\displaystyle K.}$ Algebry ${\displaystyle P(K)}$ i ${\displaystyle R(K)}$ są przykładami algebr funkcyjnych.
• Klasycznym przykładem algebry funkcyjnej jest algebra ${\displaystyle A(K)}$ złożona ze wszystkich funkcji ciągłych na ${\displaystyle K,}$ które są holomorficzne we wnętrzu ${\displaystyle K.}$ Gdy ${\displaystyle K}$ jest domkniętym kołem jednostkowym na płaszczyźnie, algebra ${\displaystyle A(K)}$ nazywana jest algebrą dyskową.

Zobacz też

• brzeg Szyłowa
• twierdzenie Stone’a-Weierstrassa

Bibliografia

• H.G. Dales, Banach algebras and automatic continuity, Clarendon Press, Oxford, 2000, s. 447–457.