Alternatywa

Alternatywa, suma logiczna, alternatywa zwykła^[a], alternatywa nierozłączna^[a], alternatywa łączna^[a] – zdanie logiczne o postaci p lub q, gdzie p, q są zdaniami. W logice matematycznej alternatywę zapisuje się ${\displaystyle p\,\lor \,q.}$ Alternatywa p lub q jest zdaniem prawdziwym, gdy co najmniej jedno z jej zdań składowych p, q jest prawdziwe.

W logice matematycznej

Alternatywa (suma logiczna):

1. Działanie dwuargumentowe określone w dowolnym zbiorze zdań bądź w zbiorze funkcji zdaniowych, które zdaniom (funkcjom zdaniowym) ${\displaystyle p}$ i ${\displaystyle q}$ przypisuje zdanie (funkcję zdaniową) prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy prawdziwe jest przynajmniej jedno ze zdań (funkcji) ${\displaystyle p}$ i ${\displaystyle q.}$
2. Dwuargumentowy spójnik zdaniowy, oznaczany ${\displaystyle p\,\lor \,q}$ (łac. ${\displaystyle p{\mbox{ vel }}q}$) o znaczeniu odpowiadającemu wyżej zdefiniowanemu działaniu określonemu w zbiorze ${\displaystyle A\ni p,q.}$ Od poprzedniej definicji różni się tym, że jest definiowany na poziomie syntaktycznym, dzięki czemu unika się określania jego dziedziny.
3. Zdanie logiczne postaci ${\displaystyle p\,\lor \,q,}$ gdzie ${\displaystyle p}$ i ${\displaystyle q}$ są zdaniami.

Dwa symbole bramki logicznej OR (sumy logicznej)

Alternatywa pozostaje w ścisłym związku z dodawaniem zbiorów (patrz algebra zbiorów). Dlatego zdanie utworzone z innych zdań przy użyciu alternatywy jest też nazywane sumą logiczną. Zdania składowe ${\displaystyle p,}$ ${\displaystyle q}$ nazywane są składnikami alternatywy^[1].

Alternatywa jest prawdziwa, jeżeli co najmniej jeden z jej składników jest prawdziwy^[1][2]. W przeciwnym razie alternatywa zdań jest fałszywa.

gdzie: 1 – zdanie prawdziwe; 0 – zdanie fałszywe

Notacja

Zestawienie symboli alternatywy, stosowanych przez różnych autorów^[3][4]:

W językach programowania dla oznaczenia alternatywy używany jest często angielski spójnik OR. W języku C/C++ i pochodnych oznacza się ją przez „||”.

Przykłady

• Alternatywa zdań: 12 dzieli się przez 3 lub Madryt jest stolicą Hiszpanii jest prawdziwa, bo oba jej zdania składowe są prawdziwe.
• Alternatywa zdań: ${\displaystyle 10>12{\mbox{ lub }}10<11}$ jest prawdziwa, bo jeden z jej składników jest prawdziwy (prawdą jest, że 10 jest liczbą mniejszą niż 11).
• Alternatywa zdań: Kraków leży nad Odrą lub Wisła nie płynie w Polsce jest fałszywa, bo oba jej zdania składowe są fałszywe.

Własności

Alternatywa charakteryzuje się następującymi cechami:

• przemienność

${\displaystyle p\,\lor \,q=q\,\lor \,p}$^[5][6]

• łączność

${\displaystyle p\,\lor \,(q\,\lor \,r)=(p\,\lor \,q)\,\lor \,r}$^[5][6]

• idempotentność

${\displaystyle p\,\lor \,p\,\Leftrightarrow \,p}$^[7]

• rozdzielność względem koniunkcji (i odwrotnie)

${\displaystyle p\,\land \,(q\,\lor \,r)\,\Leftrightarrow \,(p\,\land \,q)\,\lor \,(p\,\land \,r)}$

${\displaystyle p\,\lor \,(q\,\land \,r)\,\Leftrightarrow \,(p\,\lor \,q)\,\land \,(p\,\lor \,r)}$^[5][6]

• prawa De Morgana

${\displaystyle \neg \,(p\,\lor \,q)\Leftrightarrow (\neg \,p\,\land \,\neg \,q)}$

${\displaystyle \neg \,(p\,\land \,q)\Leftrightarrow (\neg \,p\,\lor \,\neg \,q)}$^[8]

Negacja alternatywy jest równoważna koniunkcji negacji, natomiast negacja koniunkcji – alternatywie negacji^[9].

W języku naturalnym

Bardziej znane jest potoczne znaczenie słowa „alternatywa”: wybór z dwóch wykluczających się możliwości^[10][11][12]. Pokrywa się ono z matematycznym pojęciem alternatywy rozłącznej, a nie klasycznej alternatywy przedstawianej w logice matematycznej.

Zobacz też

• decyzja
• koniunkcja

Uwagi

Przypisy

Bibliografia

• Mirosław Bańko: alternatywa. W: Poradnia językowa [on-line]. PWN, 2002. [dostęp 2016-10-14].
• MaciejM. Malinowski MaciejM., Czy menedżer to menażer?, [w:] Obcy język polski [online], 2002 [dostęp 2016-10-14] [zarchiwizowane z adresu 2016-08-02] .
• Andrzej Stanisław Mostowski: Logika matematyczna. Warszawa: 1948, seria: Monografie matematyczne t. 18. OCLC 250092935.
• Helena Rasiowa: Wstęp do matematyki współczesnej. Wyd. 5. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1975, seria: Biblioteka matematyczna, t. 30. OCLC 749626864.
• Alternatywa. W: Słownik języka polskiego [on-line]. PWN, 1997–2014. [dostęp 2012-03-30].

Linki zewnętrzne

• MariaM. Aloni MariaM., Disjunction, [w:] Stanford Encyclopedia of Philosophy [online], CSLI, Stanford University, 26 marca 2016, ISSN 1095-5054 [dostęp 2020-01-23]  (ang.).