Alternatywa Fredholma

Alternatywa Fredholma – w analizie funkcjonalnej, twierdzenie dotyczące istnienia i jednoznaczności równań liniowych w przestrzeniach Banacha. Nazwa twierdzenia pochodzi od nazwiska Erika Fredholma, który udowodnił je w kontekście równań całkowych na przestrzeni Hilberta.

Alternatywa Fredholma jest uogólnieniem na nieskończenie wymiarowe przestrzenie Banacha następującego faktu dotyczącego algebry liniowej. Dla danego przekształcenia liniowego A: V → V na n-wymiarowej przestrzeni liniowej zachodzi dokładnie jedna z możliwości:

• A jest odwzorowaniem suriektywnym,

  dla każdego y ∈ V istnieje taki element x ∈ V, że Ax = y;

• A nie jest odwzorowaniem różnowartościowym,

  istnieje taki niezerowy element v ∈ V, że Av = 0.

Wersja podstawowa

Niech X będzie zespoloną przestrzenią Banacha, T: X → X będzie liniowym operatorem zwartym oraz λ niezerową liczbą zespoloną. Wówczas równanie

${\displaystyle Tx-\lambda x=y}$

ma rozwiązanie dla każdego y ∈ X wtedy i tylko wtedy, gdy jedynym rozwiązaniem równania

${\displaystyle Tx-\lambda x=0}$

jest x = 0^[1]. Innymi słowy, równanie y = Tx - λx ma rozwiązanie dla każdego y ∈ X wtedy i tylko wtedy, gdy λ nie jest wartością własną operatora T.

Oznaczając S = T - λ·I_X, gdzie I_X to operator identycznościowy na X, powyższe jest równoważne temu, że

• albo operator S jest suriektywny,
• albo operator S nie jest różnowartościowy.

Dowód

• Przypadek, gdy λ nie jest wartością własną operatora T: X → X. W tym przypadku istnieje taka liczba c > 0, że operator T - λ·I_X jest ograniczony z dołu przez c, tj.

${\displaystyle \|Tx-\lambda x\|\geqslant c\|x\|\quad (x\in X).}$

Rzeczywiście, ze względu na dodatnią jednorodność normy wystarczy wykazać powyższe stwierdzenie dla wektorów o normie 1. Gdyby tak nie było, istniałby ciąg wektorów jednostkowych (x_n) w X, że ciąg (Tx_n - λx_n) jest zbieżny do zera. Ponieważ ||λx_n|| = |λ|, infimum norm elementów y_n = Tx_n jest dodatnie. Ponieważ operator T jest zwarty, ciąg (y_n) ma podciąg (y_nk) zbieżny do pewnego niezerowego elementu y ∈ X. Z uwagi na to, że ciąg (Tx_n - λx_n) jest zbieżny do zera, ciąg (Ty_nk - λy_nk) jest również zbieżny do zera, a więc z ciągłości, Ty - λy = 0, co przeczy temu, że λ nie jest wartością własną T.

Ponieważ operator T - λ·I_X jest ograniczony z dołu, jest on izomorfizmem na swój obraz. By udowodnić, że dla każdego y ∈ X istnieje takie x ∈ X, że y = Tx - λx, należy uzasadnić, że cała przestrzeń X jest obrazem operatora T - λ·I_X. Gdyby tak nie było, to dla każdej liczby naturalnej m podprzestrzeń X_m będąca obrazem operatora (T - λ·I_X)^m byłaby właściwa (i domknięta). Z lematu Riesza wynikałoby istnienie takich wektorów x_m w X o normie 1, że odległość x_m od X_m wynosi co najmniej 1/2.

Niech m < n będą liczbami naturalnymi. Wówczas Tx_n - λx_n jak i Tx_m - λx_m należą do X_m+1, tj.

${\displaystyle Tx_{m}-Tx_{n}\in \lambda x_{m}+X_{m+1}.}$

Ponieważ odległość między x_m od X_m wynosi co najmniej 1/2 zachodzi oszacowanie

${\displaystyle \|Tx_{m}-Tx_{n}\|\geqslant {\frac {|\lambda |}{2}},}$

które przeczy zwartości T, gdyż ciąg (Tx_n) nie ma podciągu zbieżnego.

• Przypadek, gdy λ jest wartością własną operatora T: X → X implikuje, że operator T - λ·I_X nie jest różnowartościowy ponieważ (niezerowa) wartość własna odpowiadająca λ należy do jego jądra. W tym wypadku obrazem operatora T - λ·I_X nie może być cała przestrzeń X (tj. operator ten nie jest suriektywny). Istotnie, z twierdzenia Schaudera o operatorze sprzężonym wynika, że operator T* jest również zwarty. Ponadto, (T - λ·I_X)* = T* - λ·I_X*. Gdyby T - λ·I_X był suriektywny, operator T* - λ·I_X* byłby różnowartościowy, tj. w szczególności, λ nie byłaby jego wartością własną. Z udowodnionej wyżej implikacji wynikałoby, że operator T* - λ·I_X* byłby w tym wypadku suriektywny. Oznaczałoby to, że operator T** - λ·I_X** jest różnowartościowy. Jest to jednak sprzeczność, ponieważ:

${\displaystyle \kappa _{X}(T-\lambda \cdot I_{X})={\big (}T^{**}-\lambda \cdot I_{X^{**}}{\big )}|_{\kappa _{X}(X)},}$

gdzie κ_X: X → X** oznacza kanoniczne włożenie w drugą przestrzeń sprzężoną.

Wersja ogólna

Pod pojęciem alternatywy Fredholma niektórzy rozumieją następujące twierdzenie, które opisuje wymiar jądra operatora I_X - T z jego obrazem dla operatora zwartego T: X → X na przestrzeni Banacha X^[2].

Niech T: X → X będzie operatorem zwartym na zespolonej przestrzeni Banacha X. Wówczas

• jądro operatora I_X - T jest skończenie wymiarowe,
• obraz operatora I_X - T jest domknięty, ponadto

${\displaystyle \mathrm {im} (I_{X}-T)=\ker(I_{X^{*}}-T^{*})^{\perp },}$

• operator I_X - T jest różnowartościowy wtedy i tylko wtedy, gdy jest on suriektywny (tj. jego obrazem jest cała przestrzeń X),
• ${\displaystyle \dim \ker(I_{X}-T)=\dim \ker(I_{X^{*}}-T^{*}).}$

Zobacz też

• operator Sturma-Liouville'a
• równanie całkowe Fredholma
• twierdzenie Hilberta-Schmidta

Przypisy

Bibliografia

• Haim Brezis, Functional analysis, Sobolev spaces and partial differential equations. Universitext. Springer, New York, 2011.
• L.C. Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society, Providence, 1998. ISBN 0-8218-0772-2
• Marián Fabian, Petr Habala, Petr Hájek, Vincente Montesinos Santalucía, Jan Pelant, Václav Zizler, Functional Analysis and Infinite-dimensional Geometry, CMS Books in Mathematics, 8, New York: Springer-Verlag (2001), ISBN 0-387-95219-5.