Analiza harmoniczna

Wykres funkcji rzeczywistej oraz jej transformaty Fouriera

Analiza harmoniczna, analiza fourierowska – dział matematyki obejmujący teorię i zastosowania szeregu Fouriera i transformaty Fouriera^[1].

Analiza ta prowadzi do utworzenia modelu stanowiącego sumę składowych harmonicznych (harmonik), tj. funkcji sinusoidalnych i cosinusoidalnych w określonym przedziale czasowym. Model ten przyjmuje na ogół postać:

${\displaystyle y_{t}=\alpha _{0}+\sum _{t=1}^{\frac {n}{2}}\left\{\alpha _{i}\cdot \sin \left({\frac {2\cdot \pi }{n}}\cdot i\cdot t\right)+\beta _{i}\cdot \cos \left({\frac {2\cdot \pi }{n}}\cdot i\cdot t\right)\right\},}$

gdzie:

${\displaystyle \alpha _{0},\alpha _{1},\beta _{1}}$ – parametry modelu.

W przypadku, gdy w szeregu czasowym występuje tendencja rozwojowa (trend), model przyjmuje natomiast postać

${\displaystyle y_{t}=f(t)+\sum _{t=1}^{\frac {n}{2}}\left\{\alpha _{i}\cdot \sin \left({\frac {2\cdot \pi }{n}}\cdot i\cdot t\right)+\beta _{i}\cdot \cos \left({\frac {2\cdot \pi }{n}}\cdot i\cdot t\right)\right\},}$

zaś parametry modelu wynoszą:

${\displaystyle a_{0}={\frac {1}{n}}\cdot \sum _{t=1}^{n}yt,}$

${\displaystyle a_{i}={\frac {2}{n}}\cdot \sum _{t=1}^{n}yt\cdot \sin \left({\frac {2\cdot \pi }{n}}\cdot i\cdot t\right)\quad {}}$ dla ${\displaystyle i=1,2,\dots ,{\frac {n}{2}}-1,}$

${\displaystyle b_{i}={\frac {2}{n}}\cdot \sum _{t=1}^{n}yt\cdot \sin \left({\frac {2\cdot \pi }{n}}\cdot i\cdot t\right)\quad {}}$ dla ${\displaystyle i=1,2,\dots ,{\frac {n}{2}}-1.}$

Należy jednak pamiętać, iż dla ostatniej składowej harmonicznej natomiast:

${\displaystyle a_{\frac {n}{2}}=0,}$

${\displaystyle b_{\frac {n}{2}}={\frac {1}{n}}\cdot \sum _{i=1}^{n}yt\cdot \cos(\pi \cdot t)}$^[2].

Zobacz też

• składowa harmoniczna
• współczynnik zawartości harmonicznych

Przypisy