Analiza zespolona

Wykres funkcji ${\displaystyle f(z)={\frac {(z^{2}-1)(z-2-i)^{2}}{(z^{2}+2+2i)}}}$ w biegunowym układzie współrzędnych. Argument jest reprezentowany poprzez odcień, a moduł za pomocą jasności i nasycenia.

Analiza zespolona – dziedzina matematyki, w szczególności analizy matematycznej, obejmująca swą tematyką teorię funkcji zespolonych zmiennej zespolonej, w tym rzeczywistej, jednej i wielu zmiennych – w tym bardzo rozbudowane teorie funkcji analitycznych, funkcji eliptycznych czy odwzorowań konforemnych. Ma zastosowania w teorii liczb, teorii fraktali, matematyce stosowanej, teorii przestrzeni Hilberta a także w pewnych dziedzinach fizyki.

W analizie zespolonej kluczową rolę odgrywają pojęcia funkcji analitycznych, holomorficznych i meromorficznych. Dla funkcji zespolonych, podobnie jak dla funkcji rzeczywistych, definiuje się pojęcia granicy funkcji, ciągłości, ciągłości jednostajnej, różniczkowalności, funkcji wykładniczej. Na dziedzinę zespoloną, oprócz funkcji wykładniczej, można uogólnić funkcje trygonometryczne, hiperboliczne czy wielomiany. Nieco odmiennej definicji wymaga na przykład pojęcie logarytmu liczby zespolonej i pierwiastka.

Zdarza się jednak, że wprowadzenie analogicznej definicji pewnego pojęcia dla funkcji zespolonych, jak dla rzeczywistych, niesie ze sobą daleko idące konsekwencje. Na przykład: jeśli ${\displaystyle D}$ jest obszarem oraz funkcja ${\displaystyle f}$ ma w tym obszarze ciągłą pochodną (jest klasy ${\displaystyle C^{1}}$), to ma w tym obszarze wszystkie pochodne (jest klasy ${\displaystyle C^{\infty }}$). Dla funkcji zespolonych łatwiej podać, niż w przypadku funkcji rzeczywistych (piła Weierstrassa), przykład funkcji wszędzie ciągłej i nieróżniczkowalnej w żadnym punkcie: funkcja sprzężenia ${\displaystyle f(z)={\overline {z}}}$ jest ciągła w każdym punkcie ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$ i nieróżniczkowalna w żadnym z nich.

Począwszy od schyłku XVIII wieku, aż do początków XX wieku znaczny wpływ na rozwój tej dziedziny wiedzy mieli tacy matematycy jak Leonard Euler, Carl Friedrich Gauss, Bernhard Riemann, Augustin Cauchy (Warunki Cauchy-Riemanna), Karl Weierstrass oraz wielu innych aż do dnia dzisiejszego.

Ważnymi pojęciami i twierdzeniami analizy zespolonej są także:

• Funkcje jedno- i wielokrotne
• Szereg Laurenta
• Twierdzenie podstawowe Cauchy'ego
• Wzór całkowy Cauchy'ego