Aproksymacja liniowa

Ten artykuł od 2011-09 wymaga zweryfikowania podanych informacji. Należy podać wiarygodne źródła, najlepiej w formie przypisów bibliograficznych. Część lub nawet wszystkie informacje w artykule mogą być nieprawdziwe. Jako pozbawione źródeł mogą zostać zakwestionowane i usunięte. Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {{Dopracować}} z tego artykułu.

Styczna do wykresu funkcji przechodząca przez punkt ${\displaystyle (a,f(a))}$

Aproksymacja liniowa funkcji – przybliżenie jej za pomocą funkcji liniowej.

Interpolacja liniowa

Szczególnym przypadkiem aproksymacji liniowej jest interpolacja liniowa, w której wybierane są dwa różne argumenty funkcji, zwane węzłami, po czym konstruowana jest funkcja liniowa mająca w węzłach te same wartości co funkcja przybliżana.

Aproksymacja za pomocą wzoru Taylora

Dla danej funkcji różniczkowalnej ${\displaystyle f}$ jednej zmiennej, na mocy wzoru Taylora dla ${\displaystyle n=1}$ można napisać:

${\displaystyle f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+R_{2}(x),}$

gdzie ${\displaystyle R_{2}}$ jest tzw. resztą Peana, spełniającą warunek:

${\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac {R_{2}(x)}{x-a}}=0.}$

Wyrażenie aproksymujące powstaje przez odrzucenie reszty:

${\displaystyle f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a)}$

i przybliżenie to jest tym lepsze, im ${\displaystyle x}$ jest bliższe ${\displaystyle a.}$ Wyrażenie po prawej stronie przedstawia równanie prostej stycznej do wykresu funkcji ${\displaystyle f(x),}$ w punkcie o współrzędnych ${\displaystyle (a,f(a)).}$

Analogiczne wyrażenie otrzymamy dla funkcji o wartościach (lub argumentach) wektorowych, przy czym pochodną zastępuje macierz Jacobiego funkcji. Na przykład jeżeli ${\displaystyle f(x,y)}$ jest funkcją rzeczywistą dwóch zmiennych, otrzymujemy wzór:

${\displaystyle f\left(x,y\right)\approx f\left(a,b\right)+{\frac {\partial f}{\partial x}}\left(a,b\right)\left(x-a\right)+{\frac {\partial f}{\partial y}}\left(a,b\right)\left(y-b\right).}$

Wyrażenie po prawej stronie przedstawia równanie płaszczyzny stycznej do powierzchni, będącej wykresem funkcji ${\displaystyle z=f(x,y)}$ w punkcie o współrzędnych ${\displaystyle (a,b,f(a,b)).}$

Uogólnienie powyższego na przypadek przestrzeni Banacha wygląda następująco:

${\displaystyle f(x)\approx f(a)+Df(a)(x-a),}$

gdzie ${\displaystyle Df(a)}$ jest pochodną Frecheta funkcji ${\displaystyle f}$ dla ${\displaystyle x=a.}$

Przykład

Aproksymację liniową można wykorzystać do obliczenia przybliżonej wartości ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{25}}.}$

1. Rozważana jest funkcja ${\displaystyle f(x)=x^{1/3}.}$ Problem polega na obliczeniu przybliżonej wartości funkcji ${\displaystyle f(25).}$
2. Jest

   ${\displaystyle f'(x)=1/3x^{-2/3}.}$

3. Korzystając z aproksymacji liniowej:

   ${\displaystyle f(25)\approx f(27)+f'(27)(25-27)=3-2/27=2{\frac {25}{27}}=2,(925).}$

4. Otrzymany wynik 2,926, niewiele różni się od wartości dokładnej 2,924…