Arytmetyka odcinków (Kartezjusz)

Arytmetyka odcinków (w ujęciu Kartezjusza) – archaiczne pojęcie matematyczne geometrii i algebry, polegające na odkrywaniu i dowodzeniu własności algebraicznych (jak np. własności dodawania, mnożenia, pierwiastkowania liczb, poszukiwanie pierwiastków równań algebraicznych) poprzez konstrukcje geometryczne, głównie za pomocą odcinków (zwanych w tej koncepcji wielkościami).

Stworzony przez arytmetykę odcinków pomost pomiędzy geometrią i algebrą obrazuje następujący cytat Kartezjusza:

Arytmetyka odcinków w Geometrii

Pierwsza strona Geometrii, stanowiąca wstęp do arytmetyki odcinków

Swoją arytmetykę odcinków zdefiniował Kartezjusz w Geometrii (1637), w księdze pierwszej (O problemach, w których linie proste i okręgi wystarczą do przeprowadzenia konstrukcji)^[2]. Sama struktura dzieła (tytuły początkowych paragrafów Księgi Pierwszej Geometrii) świadczy o tematyce, jaka jest w tej księdze poruszana:

• Jak rachunek arytmetyczny odnosi się do działań geometrycznych^[2],
• Mnożenie ^[3],
• Dzielenie^[3],
• Wyciąganie pierwiastka^[3],
• Jak używać znaków w geometrii^[4].

Związek arytmetyki odcinków Kartezjusza z arytmetyką odcinków Euklidesa

W arytmetyce odcinków Kartezjusza widać wyraźne wpływy antycznej arytmetyki odcinków, ale także nowe myśli (dużo bliższe współczesnej matematyce)^[5][6]. O związkach z teorią proporcji Euklidesa świadczą takie sformułowania, jak np.: znaleźć średnią proporcjonalną albo znaleźć czwartą linię, która będzie do jednej z tych danych, tak jak druga jest do jedności^[7]. Nowymi pojęciami jest odcinek jednostkowy i działania na odcinkach (mnożenie, dzielenie, pierwiastkowanie)^[7]. Nowością są także stosowane przez Kartezjusza oznaczenia i notacje^[8].

Kolejną rewolucyjną kwestią odróżniającą arytmetykę odcinków Kartezjusza od antycznych konstrukcji Euklidesa jest to, iż Kartezjusz stara się sprowadzać wszystkie wielkości do odcinków^[9][4] – dla Euklidesa ${\displaystyle ab}$ oznaczało prostokąt o bokach ${\displaystyle a}$ i ${\displaystyle b,}$ a dla Kartezjusza ${\displaystyle ab}$ jest odcinkiem o długości ${\displaystyle a\cdot b}$^[6][10][11].

Odcinek jednostkowy

Kartezjusz wskazuje na odcinek jednostkowy ${\displaystyle 1}$ jako taki, dla którego ${\displaystyle a\cdot 1=a={\frac {a}{1}}}$^[12]. Nie podaje osobno tego faktu, lecz od razu używa tej własności przy opisywaniu pierwiastkowania odcinków^[12]:

Działania w arytmetyce odcinków (oryginalne słowa Kartezjusza)

Mnożenie

Oryginalna ilustracja Kartezjusza służąca mnożeniu i dzieleniu odcinków

Kartezjusz wstępnie opisuje czym jest mnożenie odcinków, w następujący sposób:

Następnie opisuje dokładną konstrukcję tego działania:

Dzielenie

Oryginalna ilustracja Kartezjusza służąca mnożeniu i dzieleniu odcinków

Kartezjusz wstępnie opisuje czym jest dzielenie odcinków, w następujący sposób:

Następnie opisuje dokładną konstrukcję tego działania:

Wyciąganie pierwiastka z odcinka

Kartezjusz wstępnie opisuje czym jest pierwiastkowanie odcinków, w następujący sposób:

Pierwiastek kwadratowy z odcinka

Oryginalna ilustracja Kartezjusza służąca pierwiastkowaniu odcinków, ${\displaystyle GI={\sqrt {GH}}}$

Następnie opisuje dokładną konstrukcję wyciągania pierwiastka kwadratowego z odcinka:

Pierwiastki wyższych stopni

Kartezjusz przedstawia konstrukcje nieklasyczne pierwiastków wyższych stopni, pisząc:

• o pierwiastkach trzeciego stopnia:

• o pierwiastkach czwartego stopnia:

• o pierwiastkach szóstego stopnia:

Współczesne wyjaśnienie arytmetyki odcinków Kartezjusza

W arytmetyce odcinków zdefiniowanej w Geometrii występuje kilka nieścisłości^[6][15][16]. Nie wiadomo, czy następujące związki arytmetyki z teorią proporcji:

• z proporcji ${\displaystyle BE:BD::BC:1}$ Kartezjusz wnioskuje: „wówczas ${\displaystyle BE}$ jest iloczynem ${\displaystyle BD}$ oraz ${\displaystyle BC}$”^{[3][17][15][18][16]};
• z proporcji ${\displaystyle BC:BE::1:BD}$ Kartezjusz wnioskuje: „${\displaystyle BC}$ jest wynikiem dzielenia ${\displaystyle BE}$ przez ${\displaystyle BD}$”^{[3][19][15][20][16]}
• z proporcji ${\displaystyle 1:GI::GI:GH}$ Kartezjusz wnioskuje, że średnia proporcjonalna ${\displaystyle GI}$ jest pierwiastkiem z ${\displaystyle GH}$^{[3][21][15][22][16]}

są dla Kartezjusza definicjami, czy twierdzeniami^[6][15][16].

Przyjmując, że te równości są definicjami, można współcześnie jasnym językiem przedstawić konstrukcje oparte na arytmetyce odcinków^[16]. W poniższych sekcjach stosowane zapisy matematyczne są częściowo uwspółcześnione, dla łatwiejszego zrozumienia przedstawianych konstrukcji i dowodów rozumowań. W dowodach będziemy stosować definicje arytmetyki odcinków oraz własności proporcji z Elementów Euklidesa.

Mnożenie

Iloczyn odcinków ${\displaystyle a}$ oraz ${\displaystyle b}$ konstruujemy w sposób następujący^[23]. Oba odcinki odkładamy odpowiednio na dwóch różnych ramionach kąta^[23] (jak na rysunku powyżej). Łączymy końce odcinków ${\displaystyle 1}$ i ${\displaystyle b,}$ a następnie konstruujemy równoległą do powstałego odcinka, przechodzącą przez koniec odcinka ${\displaystyle a}$^[23].

Przyjmijmy następującą definicję mnożenia w arytmetyce odcinków:

${\displaystyle x=a\cdot b\Leftrightarrow _{def}a:1::x:b}$^[23].

Konstrukcja przedstawiona powyżej spełnia tę definicję mnożenia^[23].

Definicja ta jest jednoznaczna^[24].

Dowód.

Niech ${\displaystyle x}$ oraz ${\displaystyle y}$ oznaczają iloczyn odcinków ${\displaystyle a}$ i ${\displaystyle b}$ uzyskany w różnych konstrukcjach^[24]. Wtedy, z definicji, mamy:

${\displaystyle a:1::x:b,}$

${\displaystyle a:1::y:b}$^[24].

Z tych dwóch proporcji wynika, że:

${\displaystyle x:b::y:b}$^[24].

Korzystając z otrzymanej proporcji oraz twierdzenia V.9 otrzymujemy:

${\displaystyle x=y}$^[24]. q.e.d.

Element neutralny mnożenia

Wykażemy, że ${\displaystyle a\cdot 1=a}$^[25]. Posłużymy się do tego konstrukcją z rysunku powyżej^[25].

Dowód.

Odcinek ${\displaystyle a}$ wyznaczony jest poprzez proporcję:

${\displaystyle a:1::(a\cdot 1):1}$^[25].

Korzystając z otrzymanej proporcji oraz twierdzenia V.9 otrzymujemy:

${\displaystyle a=a\cdot 1}$^[25]. q.e.d.

Przemienność mnożenia

Wykażemy, że mnożenie odcinków jest przemienne^[25].

Dowód.

Na podstawie definicji mnożenia odcinków mamy następujące dwie proporcje:

${\displaystyle ba:a::b:1,}$

${\displaystyle a:1::ab:a}$^[25].

Dzięki twierdzeniu V.23 z powyższych dwóch proporcji otrzymamy:

${\displaystyle ba:1::ab:1}$^[25].

Twierdzenie V.9 sprawia, że z powyższej proporcji otrzymujemy:

${\displaystyle ba=ab}$^[25]. q.e.d.

Dzielenie

Iloraz odcinków ${\displaystyle a}$ oraz ${\displaystyle b}$ konstruujemy w sposób następujący^[20][26]. Oba odcinki odkładamy odpowiednio na dwóch różnych ramionach kąta^[20][26] (jak na rysunku powyżej). Łączymy końce odcinków ${\displaystyle a}$ i ${\displaystyle b,}$ a następnie konstruujemy równoległą do powstałego odcinka, przechodzącą przez koniec odcinka ${\displaystyle 1}$^[20][26].

Przyjmijmy następującą definicję dzielenia w arytmetyce odcinków:

${\displaystyle x=a\cdot b\Leftrightarrow _{def}a:1::x:b}$^[27].

Przedstawiona powyżej konstrukcja spełnia tę definicję^[26]

Element odwrotny

Proporcja

${\displaystyle 1:a::x:1}$

wyznacza odcinek ${\displaystyle {\frac {1}{a}}}$^[27]. Powyższy rysunek przedstawia odpowiednią konstrukcję^[26]. Konstrukcja ta również pokazuje, że:

${\displaystyle a\cdot {\frac {1}{a}}=1}$^[27].

Dzielenie przez 1

Zauważając, że:

${\displaystyle a:1::a:1,}$

otrzymujemy:

${\displaystyle a={\frac {1}{a}}}$^[27].

Proporcja

Arytmetykę odcinków Kartezjusza można powiązać z antyczną arytmetyką odcinków Euklidesa, zapisując proporcje Euklidesa, językiem Kartezjusza, co jest możliwe dzięki poniższym twierdzeniom^[28].

Proporcja jako iloraz

proporcja ⇒ iloraz. Dowód algebraiczny.

Niech zachodzi proporcja:

${\displaystyle a:b::c:d}$^[26].

Na podstawie definicji dzielenia odcinków otrzymamy:

${\displaystyle a:b::{\frac {a}{b}}:1,}$

${\displaystyle c:d::{\frac {c}{d}}:1}$^[26].

Z tych trzech proporcji wynika następujący fakt:

${\displaystyle {\frac {a}{b}}:1::{\frac {c}{d}}:1}$^[26].

Korzystając z otrzymanej proporcji oraz twierdzenia V.9 otrzymujemy:

${\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}}$^[26]. q.e.d.

proporcja ⇒ iloraz. Dowód geometryczny.

Niech zachodzi proporcja:

${\displaystyle a:b::c:d}$^[26].

VI.2
Z Elementów Euklidesa znamy twierdzenie VI.2 Niech bowiem będzie poprowadzona DE, równoległa do BC, jednego z boków trójkąta ABC. Twierdzę, że jak BD jest do DA, tak CE do EA oraz jak BA jest do DA, tak CA do EA[29].

Na podstawie twierdzenia VI.2 wiemy, że proste przechodzące przez krańce odcinków ${\displaystyle a,b}$ oraz ${\displaystyle c,d}$ są równoległe^[26]. Konstrukcja ułamka wymaga poprowadzenia prostej równoległej, przechodzącej przez ${\displaystyle 1,}$ ale ponieważ obie proste są równoległe, to oba ułamki wyznaczają ten sam punkt^[26]. Zatem:

${\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}}$^[26]. q.e.d.

iloraz ⇒ proporcja. Dowód.

Niech ${\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}}$^[26]. Wtedy wszystkie odcinki łączące punkty (na rysunku powyżej) są równoległe^[30]. Stąd, na podstawie twierdzenia VI.2. otrzymujemy:

${\displaystyle a:b::c:d}$^[26]. q.e.d.

Proporcja jako iloczyn

W podobny sposób można uzasadnić równoważność proporcji z odpowiednim iloczynem odcinków^[28]. W tym celu wystarczy zauważyć, że:

${\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}\Leftrightarrow a\cdot d=c\cdot b}$^[28].

Potęgowanie

Kolejne potęgi odcinka ${\displaystyle a}$ można tworzyć na podstawie definicji mnożenia dwóch odcinków, przyjmując że oba są równe ${\displaystyle a}$^[31]. Innym sposobem konstrukcji kolejnych potęg jest użycie do tego celu mezolabium^[27].

Pierwiastkowanie

Można przyjąć następujące definicje pierwiastkowania:

• ${\displaystyle x={\sqrt {a}}\Leftrightarrow _{def}1:x::x:a}$^[32]
• ${\displaystyle x={\sqrt[{3}]{a}}\Leftrightarrow _{def}\exists _{y}\ (1:x::x:y\wedge x:y::y:a)}$^[33]
• ${\displaystyle x={\sqrt[{4}]{a}}\Leftrightarrow _{def}\exists _{y}\exists _{z}\ (1:x::x:y\wedge x:y::y:z\wedge y:z::z:a)}$^[33]
• itp.

Pierwiastek kwadratowy można skonstruować sposobem ukazanym na pierwszym rysunku lub poprzez mezolabium^[32]. Dzięki mezolabium można skonstruować także ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{a}},}$ ${\displaystyle {\sqrt[{4}]{a}}}$ oraz pierwiastki wyższych stopni^[32].

Ciało odcinków

Arytmetyka odcinków Kartezjusza może stworzyć ciało uporządkowane^[34].

Warstwa językowa i symboliczna arytmetyki odcinków Kartezjusza

Z symbolami takimi jak np. ${\displaystyle a^{2},}$ ${\displaystyle b^{3},}$ ${\displaystyle ab}$ Kartezjusz łączy tradycyjne nazewnictwo oraz nowe znaczenia^[9].

Następnie deklaruje, że w odniesieniu do wyrażeń ${\displaystyle a^{2}}$ tudzież ${\displaystyle b^{3}}$ zachowa tradycyjne nazwy geometryczne (czyli kwadrat oraz sześcian), ale jednocześnie nada im zupełnie nowy sens – ${\displaystyle a^{2}}$ i ${\displaystyle b^{3}}$ są odcinkami utworzonymi na podstawie definicji iloczynu^[10]. Podobne dwuznaczności wiążą się z symbolem ${\displaystyle ab}$^[10]. Symbol ten był stosowany przez Kartezjusza i innych XVII-wiecznych algebraików, na przykład Johna Wallisa^[10]. Wszędzie, poza Geometrią, oznaczał on prostokąt o bokach ${\displaystyle a,b}$^[10]. W La Géometrie wyrażenie ${\displaystyle ab}$ również jest nazywane prostokątem, choć w rzeczywistości oznacza odcinek ${\displaystyle a\cdot b}$^[10].

Przypisy

Bibliografia

• Kartezjusz: Geometria. Tłumaczenie i komentarz: Piotr Błaszczyk i Kazimierz Mrówka. Kraków: TAiWPN Universitas, 2015. ISBN 978-83-242-2759-4.