Baza otoczeń

Baza otoczeń w punkcie i system otoczeń to terminy w topologii odnoszące się do specjalnych rodzin podzbiorów przestrzeni topologicznej.

Definicja

Niech ${\displaystyle (X,\tau )}$ będzie przestrzenią topologiczną, a ${\displaystyle x\in X.}$ Powiemy że rodzina ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ otoczeń punktu ${\displaystyle x}$ jest bazą otoczeń w punkcie ${\displaystyle x}$ jeśli każde otoczenie ${\displaystyle x}$ zawiera element ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$

Równoważnie, rodzina ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ otoczeń punktu ${\displaystyle x}$ jest bazą otoczeń w ${\displaystyle x}$ jeśli

${\displaystyle \forall U\in \tau \ \;{\big (}x\in U\ \Rightarrow \ (\exists V\in {\mathcal {B}})(x\in V\subseteq U){\big )}.}$

System otoczeń dla przestrzeni ${\displaystyle X}$ to rodzina ${\displaystyle \{{\mathcal {B}}(x):x\in X\}}$ taka, że ${\displaystyle {\mathcal {B}}(x)}$ jest bazą otoczeń w ${\displaystyle x}$ dla każdego ${\displaystyle x\in X.}$

Zauważmy, że w definicji tej nie wymaga się, by otoczenia były zbiorami otwartymi (choć będzie to zakładane w dalszym ciągu).

Dla zaznaczenia, że wszystkie elementy bazy otoczeń są zbiorami otwartymi, używa się zwrotu baza otoczeń otwartych w punkcie ${\displaystyle x}$ i podobnie dla systemów otoczeń.

Przykłady

• Zbiór wszystkich otoczeń punktu ${\displaystyle x}$ jest bazą otoczeń w tym punkcie.
• Jeśli ${\displaystyle X}$ jest przestrzenią dyskretną, to ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{d}(x)={\big \{}\{x\}{\big \}}}$ jest bazą otoczeń w ${\displaystyle x\in X.}$ Jeśli ${\displaystyle X}$ jest przestrzenią antydyskretną, to ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{a}(x)=\{X\}}$ jest bazą otoczeń w ${\displaystyle x\in X.}$
• Jeśli ${\displaystyle X}$ jest przestrzenią metryczną z odległością ${\displaystyle d}$ i dla punktu ${\displaystyle x\in X}$ oraz liczby dodatniej ${\displaystyle r>0}$ położymy ${\displaystyle B(x,r)=\{y\in X:d(x,y)<r\},}$ to wtedy rodzina ${\displaystyle \{B(x,1/n):n=1,2,3,\dots \}}$ jest bazą otoczeń w ${\displaystyle x.}$

Charakteryzacja i własności

• Załóżmy że ${\displaystyle \{{\mathcal {B}}(x):x\in X\}}$ jest systemem otoczeń otwartych w przestrzeni topologicznej ${\displaystyle X.}$ Wówczas następujące warunki (BP1)-(BP3) są spełnione:

(BP1) Dla każdego ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}(x)\neq \emptyset }$ i dla każdego ${\displaystyle U\in {\mathcal {B}}(x)}$ mamy że ${\displaystyle x\in U.}$

(BP2) Jeśli ${\displaystyle x\in U\in {\mathcal {B}}(y),}$ ${\displaystyle x,y\in X,}$ to istnieje ${\displaystyle V\in {\mathcal {B}}(x)}$ takie że ${\displaystyle V\subseteq U.}$

(BP3) Dla każdych ${\displaystyle U_{1},U_{2}\in {\mathcal {B}}(x),}$ ${\displaystyle x\in X,}$ można znaleźć ${\displaystyle U\in {\mathcal {B}}(x)}$ takie że ${\displaystyle U\subseteq U_{1}\cap U_{2}.}$

• Przypuśćmy że ${\displaystyle X}$ jest niepustym zbiorem i ${\displaystyle \{{\mathcal {B}}(x):x\in X\}}$ jest systemem rodzin podzbiorów zbioru ${\displaystyle X}$ spełniającym warunki (BP1)-(BP3). Niech ${\displaystyle \tau }$ będzie rodziną wszystkich podzbiorów ${\displaystyle X}$ które mogą być przedstawione jako sumy podrodzin rodziny ${\displaystyle \bigcup \limits _{x\in X}{\mathcal {B}}(x).}$ Wówczas ${\displaystyle \tau }$ jest topologią na ${\displaystyle X}$ i ${\displaystyle \{{\mathcal {B}}(x):x\in X\}}$ jest systemem otoczeń otwartych dla tej topologii. Często mówimy wtedy że ${\displaystyle \tau }$ jest topologią generowaną przez ${\displaystyle \{{\mathcal {B}}(x):x\in X\}.}$

Powyższa obserwacja służy za podstawę jednej z metod definiowania topologii na danym zbiorze: przez podanie bazy otoczeń w każdym punkcie. Właśnie ta metoda jest przez nas użyta do zdefiniowania płaszczyzny Niemyckiego oraz przykładu przestrzeni T₃, ale nie T_{3 1/2}.

Funkcje kardynalne

Z pojęciem bazy otoczeń związane są następujące funkcje kardynalne:

• Charakter punktu ${\displaystyle x\in X}$ w przestrzeni topologicznej ${\displaystyle X}$ to najmniejsza możliwa moc bazy otoczeń w tym punkcie. Charakter punktu ${\displaystyle x\in X}$ oznaczany jest przez ${\displaystyle \chi (x,X).}$
• Charakter przestrzeni ${\displaystyle X}$ jest zdefiniowany jako

${\displaystyle \chi (X)=\sup\{\chi (x,X):x\in X\}.}$

Zobacz też

• aksjomaty przeliczalności
• baza topologii
• otoczenie
• przestrzeń topologiczna
• topologia