Bramka kwantowa

Bramka Hadamarda

Bramka ${\displaystyle {\sqrt {NOT}}}$

Bramka CNOT

Bramka SWAP

Bramka Toffoliego

Bramka Fredkina

Bramki kwantowe – proste elementy wykonujące podstawowe obliczenia przeprowadzane przez algorytmy kwantowe. Bramki te stanowią podstawowe operacje realizowane przez komputery kwantowe i służą do przetwarzania informacji kwantowej. Na schematach obwodów kwantowych bramki oznaczane są za pomocą ramek, a w obliczeniach stosowana jest postać macierzy unitarnych.

Bramka kwantowa przekształca stan kwantowy ${\displaystyle |\Psi \rangle }$ w inny stan kwantowy ${\displaystyle |\Phi \rangle .}$ Spośród wszystkich bramek kwantowych, cztery z nich:

1. bramka sigma x ${\displaystyle (\sigma _{x}){:}}$

   ${\displaystyle X={\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}},}$

2. bramka Hadamarda,

   ${\displaystyle H={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}}}$

3. bramka fazy:

   ${\displaystyle T={\begin{bmatrix}1&0\\0&e^{i\pi /4}\end{bmatrix}},}$

4. bramka CNOT (dwukubitowa, zwana też bramką kontrolowanej negacji),

tworzą tzw. zbiór uniwersalny, tzn. dowolną inną bramkę kwantową można przybliżyć wykorzystując jedynie te 4 bramki.

Podział bramek kwantowych

• bramki jednokubitowe:
  • bramka kwantowej NOT (bramka kwantowej negacji),
  • bramka fazy,
  • bramka Hadamarda,
  • bramka pierwiastek z NOT (bramka pierwiastek kwadratowy z negacji)

    ${\displaystyle {\sqrt {NOT}}={\begin{bmatrix}1&-1\\1&1\end{bmatrix}}}$

• bramki dwukubitowe:
  • bramka CNOT

${\displaystyle \operatorname {CNOT} ={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\0&0&1&0\end{bmatrix}},}$

• • bramka Feynmana,
  • bramka SWAP

    ${\displaystyle {\mbox{SWAP}}={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}}$

• bramki trzykubitowe:
  • bramka Toffoliego (CCNOT),
  • bramka Fredkina (CSWAP)

${\displaystyle CSWAP={\begin{bmatrix}1&0&0&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0&0&0\\0&0&0&1&0&0&0&0\\0&0&0&0&1&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&1\end{bmatrix}}}$

• • bramka Deutscha.

Właściwości bramek

• Obliczenia na bramkach kwantowych są odwracalne.
• Bramki mają jednakową liczbę wejść i wyjść.

Przykład bramki kwantowej NAND na dwóch kontrolowanych spinach

Bramkę kwantową zaprzeczenia koniunkcji lub NAND można zrealizować np. przy pomocy dwóch spinów elektronu, oddziałujących najprostszym oddziaływaniem typu wymiennego, umieszczonych w polu magnetycznym o kierunku zależnym od czasu, użytym do jej pracy. Hamiltonian takiego układu dany jest wzorem:

${\displaystyle H=-{\boldsymbol {\sigma _{1}}}\cdot \mathbf {B} -{\boldsymbol {\sigma _{2}}}\cdot \mathbf {B} -{\boldsymbol {\sigma _{1}}}\cdot {\boldsymbol {\sigma _{2}}},}$

gdzie ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma _{1}}},}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma _{2}}}}$ to operatory-wektory spinu elektronu złożone z trzech macierzy Pauliego.

Równania ruchu Blocha przyjmują postać:

${\displaystyle {\dot {\boldsymbol {\sigma _{1}}}}={\boldsymbol {\sigma _{1}}}\times \mathbf {B} +{\boldsymbol {\sigma _{1}}}\times {\boldsymbol {\sigma _{2}}}}$

${\displaystyle {\dot {\boldsymbol {\sigma _{2}}}}={\boldsymbol {\sigma _{2}}}\times \mathbf {B} +{\boldsymbol {\sigma _{2}}}\times {\boldsymbol {\sigma _{1}}}}$

Równania te można rozwiązać w przybliżeniu tzw. adiabatycznego śledzenia się wektorów spinów o infinitezymalnej precesji Larmora i wektora pola magnetycznego jeśli tylko założyć, że ${\displaystyle |\mathbf {B} |=|{\boldsymbol {\sigma _{i}}}|.}$ W zależności od tego czy wektory spinu są na początku oba równolegle czy antyrównolegle do pola lub antyrównolegle do siebie albo oba adiabatycznie śledzą wektor pola magnetycznego i oba razem zmieniają kierunek o 180° albo prawa strona jednego z równań znika tożsamościowo i zmienia się kierunek tylko drugiego spinu, który śledzi adiabatycznie superpozycje pola i drugiego dodającego się jako pole efektywne spinu zamrożonego. Funkcja zmiany kierunku pola, np. sinus, jest oczywiście bezwarunkowa i nie zależy od stanu początkowego spinów co gwarantuje pracę bramki. Po czasie adiabatycznej zmiany kierunku pola ${\displaystyle \mathbf {B} }$ o 180° mamy więc:

${\displaystyle e^{-i\int H(t)dt_{op}}{\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\-1\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}0\\-1\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle e^{-i\int H(t)dt_{op}}{\begin{bmatrix}0\\-1\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}0\\-1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle e^{-i\int H(t)dt_{op}}{\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}0\\-1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle e^{-i\int H(t)dt_{op}}{\begin{bmatrix}0\\-1\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}}$

Interpretując spin do góry jako logiczną 1, a do dołu jako 0 i zduplikowany spin stanu końcowego jako wynik, otrzymujemy bramkę zaprzeczenia koniunkcji, czyli NAND.

Zobacz też

• bramka logiczna
• informatyka kwantowa