Bryła obrotowa

Bryła obrotowa – bryła geometryczna ograniczona powierzchnią powstałą z obrotu figury płaskiej dookoła prostej (osi obrotu). Do brył obrotowych zaliczane są m.in.:

• walec kołowy prosty,
• stożek,
• kula,
• torus,
• beczka,
• elipsoida obrotowa,
• paraboloida obrotowa,
• hiperboloida obrotowa.

Objętość i pole powierzchni bryły obrotowej

Wykres funkcji zmiennej x

Bryła powstała wskutek obrotu obszaru pod wykresem funkcji ${\displaystyle f(x)}$ wokół osi OX

Objętość bryły obrotowej powstałej przez obrót wykresu funkcji ${\displaystyle y=f(x),}$ gdzie ${\displaystyle x\in \langle a,b\rangle ,}$ dookoła osi OX^[1].

${\displaystyle V=\pi \int \limits _{a}^{b}[f(x)]^{2}\,dx}$

Pole powierzchni powstałej przez obrót wykresu funkcji ${\displaystyle y=f(x),}$ gdzie ${\displaystyle x\in \langle a,b\rangle ,}$ dookoła osi OX^[1].

${\displaystyle S=2\pi \int \limits _{a}^{b}|f(x)|{\sqrt {1+[f'(x)]^{2}}}\,dx}$

Objętość bryły obrotowej powstałej przez obrót wykresu funkcji ${\displaystyle y=f(x),}$ gdzie ${\displaystyle x\in \langle a,b\rangle ,\,a\geqslant 0,}$ dookoła osi OY^[1].

${\displaystyle V=2\pi \int \limits _{a}^{b}xf(x)\,dx}$

Pole powierzchni powstałej przez obrót wykresu funkcji ${\displaystyle y=f(x),}$ gdzie ${\displaystyle x\in \langle a,b\rangle ,\,a\geqslant 0,}$ dookoła osi OY^[1].

${\displaystyle S=2\pi \int \limits _{a}^{b}x{\sqrt {1+[f'(x)]^{2}}}\,dx}$

Krzywa w postaci parametrycznej

${\displaystyle x=x(t),\ y=y(t);\ t\in \langle \alpha ,\,\beta \rangle }$

Objętość bryły powstałej przez obrót krzywej wokół osi OX^[1].

${\displaystyle V=\pi \int \limits _{\alpha }^{\beta }\left|x'(t)\right|y^{2}(t)\,dt}$

Pole powierzchni powstałej przez obrót krzywej wokół osi OX^[1].

${\displaystyle S=2\pi \int \limits _{\alpha }^{\beta }y(t){\sqrt {[x'(t)]^{2}+[y'(t)]^{2}}}\,dt}$

Objętość bryły powstałej przez obrót krzywej wokół osi OY^[1].

${\displaystyle V=2\pi \int \limits _{\alpha }^{\beta }x'(t)x(t)y(t)\,dt}$

Pole powierzchni powstałej przez obrót krzywej wokół osi OY^[1].

${\displaystyle S=2\pi \int \limits _{\alpha }^{\beta }x(t){\sqrt {[x'(t)]^{2}+[y'(t)]^{2}}}\,dt}$

W wielu przypadkach obliczanie objętości bryły obrotowej lub pola jej powierzchni ułatwiają twierdzenia Pappusa.

Przypisy