Całka Bochnera

Całka Bochnera – rozszerzenie pojęcia całki oznaczonej o funkcje przybierające wartości w przestrzeni Banacha. Wprowadzona w 1933 roku przez Salomona Bochnera.

Definicja

Niech ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},\mu )}$ będzie przestrzenią z miarą, ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$ oraz niech ${\displaystyle X}$ będzie przestrzenią Banacha.

• Funkcję ${\displaystyle f\colon \Omega \to X}$ nazywamy uogólnioną funkcją prostą, gdy zbiór ${\displaystyle f(\Omega )}$ jest przeliczalny oraz ${\displaystyle f^{-1}(\{x\})\in {\mathcal {A}}}$ dla każdego ${\displaystyle x\in X.}$
• Funkcję ${\displaystyle f\colon A\to X}$ nazywamy całkowalną w sensie Bochnera, gdy istnieje taki ciąg uogólnionych funkcji prostych ${\displaystyle f_{n}\colon A\to X,\,n\in \mathbb {N} ,}$ że

1. ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }f_{n}(\omega )=f(\omega )}$ dla ${\displaystyle \mu }$-p.w. ${\displaystyle \omega \in A,}$
2. ${\displaystyle \int \limits _{A}\|f_{n}(\omega )\|\mu (d\omega )<\infty ,\,n\in \mathbb {N} ,}$
3. ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int \limits _{A}\|f_{n}(\omega )-f(\omega )\|\mu (d\omega )=0.}$

Jeżeli ${\displaystyle f\colon A\to X}$ jest całkowalna w sensie Bochnera, to punkt

${\displaystyle \int \limits _{A}fd\mu \in X}$

określony wzorem

${\displaystyle \int \limits _{A}fd\mu =\lim _{n\to \infty }\int \limits _{A}f_{n}d\mu ,}$

gdzie ${\displaystyle f_{n}\colon A\to X,\,n\in \mathbb {N} }$ jest dowolnym ciągiem uogólnionych funkcji prostych o własnościach 2. i 3., nazywamy całką Bochnera funkcji ${\displaystyle f}$ względem miary ${\displaystyle \mu .}$

Charakteryzacja klasy funkcji całkowalnych w sensie Bochnera

Niech ${\displaystyle f\colon A\to X.}$ Każde z następujących zdań jest równoważne:

• ${\displaystyle f}$ jest całkowalna w sensie Bochnera.
• ${\displaystyle f}$ jest ${\displaystyle \mu }$-mierzalna i spełniony jest warunek 1.
• Istnieje ciąg ${\displaystyle f_{n}\colon A\to X,\,n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$-mierzalnych uogólnionych funkcji prostych i taki podzbiór ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$-mierzalny ${\displaystyle N\subseteq A,}$ że ${\displaystyle \mu (N)=0}$ oraz ciąg ${\displaystyle f_{n}|_{A\setminus N},n\in \mathbb {N} }$ jest jednostajnie zbieżny do funkcji ${\displaystyle f|_{A\setminus N}}$ i spełnione są warunki 2. i 3.

Własności

Wiele właściwości całki Lebesgue występuje również dla całki Bochnera. Przykładem jest kryterium całkowalności w sensie Bochnera, które mówi, że jeśli ${\displaystyle \mu }$ jest miarą skończoną, to funkcja ${\displaystyle f\colon \Omega \to X}$ jest całkowalna w sensie Bochnera wtedy i tylko wtedy, gdy

${\displaystyle \int \limits _{\Omega }\|f(\omega )\|\mu (d\omega )<\infty .}$

Jeżeli funkcja ${\displaystyle f\colon \Omega \to X}$ jest całkowalna w sensie Bochnera, to jest całkowalna w sensie Pettisa i obie całki są równe.

Bibliografia

• Salomon Bochner. Integration von Funktionen, deren Werte die Elemente eines Vectorraumes sind. „Fundamenta Mathematicae”. 20, s. 262–276, 1933. 
• Joseph Diestel: Sequences and series in Banach spaces. Graduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag, 1984. ISBN 0-387-90859-5.
• Joseph Diestel, J.J. Uhl: Vector measures. Providence, R.I.: American Mathematical Society, 1977. ISBN 978-0-8218-1515-1.
• Serge Lang: Real analysis. Addison-wesley, 1969. ISBN 0-201-04172-3. (now published by springer Verlag)
• V.I. Sobolev: Całka Bochnera. Michiel Hazewinkel (red.). w: Encyclopaedia of Mathematics Kluwer Academic Publishers, 2001. ISBN 978-1556080104. (ang.)
• D. van Dulst: Vector measures. Michiel Hazewinkel (red.). w: Encyclopaedia of Mathematics Kluwer Academic Publishers, 2001. ISBN 978-1556080104. (ang.)

Całki Całkowanie numeryczne całka Riemanna / całka Darboux całka Lebesgue’a całka Burkilla całka Bochnera całka Daniella-Stone’a całka Henstocka–Kurzweila całka Haara całka Hellingera całka Chinczyna całka Kołmogorowa całka Stieltjesa całka Lebesgue’a-Stieltjesa całka Riemanna-Stieltjesa całka Pettisa całka Pfeffera (c) I, KSmrq, CC-BY-SA-3.0 Metody całkowanie przez części całkowanie przez podstawienie podstawienia Eulera podstawienie trygonometryczne podstawienie uniwersalne całka funkcji odwrotnej zmiana kolejności całkowania całkowanie przez ułamki proste całkowanie za pomocą wzorów redukcyjnych zob. tablice całek całkowanie metodą uzmiennienia stałych przy pomocy pochodnych parametrycznych całkowanie za pomocą wzoru Eulera różniczkowanie pod znakiem całki całka krzywoliniowa całkowanie metodą współczynników nieoznaczonych Całki niewłaściwe całka niewłaściwa całka Gaussa Całki stochastyczne całka Itô całka Stratonowicza twierdzenie Riesza-Skorochoda