Całka Daniella-Stone’a

Całka Daniella-Stone’a – model konstrukcji całki zaproponowany w 1918 przez Daniella i Stone’a jako uogólnienie teorii całki Riemanna. Obecnie większą popularnością wśród matematyków cieszy się model zaproponowany przez Lebesgue’a. Względną zaletą modelu Daniella-Stone’a jest brak bezpośredniego odwołania do aparatu teorii miary.

Definicja

Niech ${\displaystyle E}$ będzie elementarną rodziną funkcji. Funkcjonał ${\displaystyle \mu \in E^{\star }}$ nazywamy dodatnim, jeśli dla każdej ${\displaystyle E\ni f\geqslant 0}$ zachodzi ${\displaystyle \mu (f)\geqslant 0.}$

Funkcjonał liniowy, dodatni, monotonicznie ciągły, określony na pewnej elementarnej rodzinie funkcji ${\displaystyle E}$ nazywamy całką Daniella-Stone’a. Funkcje z rodziny ${\displaystyle E}$ nazywamy funkcjami elementarnymi tej całki.

Zamiast ${\displaystyle \mu (f)}$ całkę Daniella-Stone’a oznaczamy także

${\displaystyle \int fd\mu ,\;\int \limits _{X}f(x)d\mu (x),\;\operatorname {(D)} \int fd\mu .}$

Przykłady

• Niech ${\displaystyle X}$ będzie przedziałem liczbowym postaci ${\displaystyle [a,b];}$ E=C([a,b]), tzn. ${\displaystyle E}$ jest przestrzenią funkcji ciągłych na ${\displaystyle [a,b].}$ W przypadku, gdy

${\displaystyle \mu (f):=\int \limits _{[a,b]}f(x)dx,}$

to całka Daniella-Stone’a jest po prostu całką Riemanna.

• Niech ${\displaystyle X}$ będzie przestrzenią topologiczną lokalnie zwartą oraz niech ${\displaystyle E=C_{0}(X)}$ oznacza zbiór funkcji ciągłych o zwartych nośnikach na ${\displaystyle X.}$ Jeśli ${\displaystyle \mu }$ jest funkcjonałem liniowym, dodatnim i ciągłym przy zbieżności niemal jednostajnej, to na mocy twierdzenia Diniego ${\displaystyle \mu }$ jest monotonicznie ciągły, czyli będzie całką Daniella-Stone’a. Całkę tę nazywamy całką Radona na przestrzeni lokalnie zwartej ${\displaystyle X.}$
• W poprzednim przykładzie przyjmijmy ${\displaystyle X=\mathbb {N} .}$ Niech ${\displaystyle C_{0}(\mathbb {N} )}$ będzie przestrzenią ciągów o skończonej liczbie wyrazów niezerowych. Dla ${\displaystyle f\in C_{0}(\mathbb {N} )}$ można przyjąć

${\displaystyle \mu (f):=\sum _{n=1}^{\infty }f(n).}$

• Niech ${\displaystyle X}$ będzie zbiorem niepustym oraz ${\displaystyle E}$ niech będzie rodziną wszystkich funkcji rzeczywistych na ${\displaystyle X.}$ Ponadto niech dany będzie punkt ${\displaystyle x_{0}}$ ze zbioru ${\displaystyle X.}$ Dla ${\displaystyle f\in E}$ można zdefiniować ${\displaystyle \mu (f):=f(x_{0});}$ inne oznaczenie (por. delta Diraca), to

${\displaystyle \mu (f)=\delta _{x_{0}}(f).}$

Zobacz też

• całka Lebesgue’a
• twierdzenie Riesza-Skorochoda

Bibliografia

• Krzysztof Maurin: Analiza – Część I – Elementy. Warszawa: PWN, 1976.
• Percy John Daniell: A general form of integral. Annals of Mathematics 19, 1918.

Całki

Całkowanie numeryczne	całka Riemanna / całka Darboux całka Lebesgue’a całka Burkilla całka Bochnera całka Daniella-Stone’a całka Henstocka-Kurzweila całka Haara całka Hellingera całka Chinczyna całka Kołmogorowa całka McShane’a całka Pettisa całka Pfeffera całka Stieltjesa całka Lebesgue’a-Stieltjesa całka Riemanna-Stieltjesa
Metody	całkowanie przez części całkowanie przez podstawienie podstawienia Eulera podstawienie trygonometryczne podstawienie uniwersalne całka funkcji odwrotnej zmiana kolejności całkowania całkowanie przez ułamki proste całkowanie za pomocą wzorów redukcyjnych zob. tablice całek całkowanie metodą uzmiennienia stałych przy pomocy pochodnych parametrycznych całkowanie za pomocą wzoru Eulera różniczkowanie pod znakiem całki całka krzywoliniowa całkowanie metodą współczynników nieoznaczonych
Całki niewłaściwe	całka niewłaściwa całka Gaussa
Całki stochastyczne	całka Itô całka Stratonowicza twierdzenie Riesza-Skorochoda

(c) I, KSmrq, CC-BY-SA-3.0