Całka Lebesgue’a-Stieltjesa

Całka Lebesgue’a-Stieltjesa – uogólnienie całki Riemanna-Stieltjesa i całki Lebesgue’a, zachowujące wiele korzyści pierwszej z całek, a zarazem używające bardziej ogólnego języka teorii miary. Całka Lebesgue’a-Stieltjesa jest zwykłą całką Lebesgue’a w stosunku do miary znanej jako miara Lebesgue’a-Stieltjesa, która może być zdefiniowana dla dowolnej funkcji o wahaniu ograniczonym określonej na prostej rzeczywistej. Każda miara Lebesgue’a-Stieltjesa jest miarą regularną i odwrotnie, każda miara regularna na prostej rzeczywistej jest tej postaci.

Całka Lebesgue’a-Stieltjesa, nazwana na cześć Henriego Leona Lebesgue’a i Thomasa Joannesa Stieltjesa, jest również znana jako całka Lebesgue’a-Radona lub po prostu całka Radona, od Johanna Radona, który wniósł istotny wkład w ich teorię. Znajdują powszechne zastosowanie w rachunku prawdopodobieństwa i procesach stochastycznych, a także w niektórych gałęziach analizy matematycznej, w tym w teorii potencjału.

Definicja

Całka Lebesgue’a-Stieltjesa

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dg(x)}$

jest określona, gdy ${\displaystyle f:\left[a,b\right]\to \mathbb {R} }$ jest mierzalna względem miary borelowskiej i ograniczona, a ${\displaystyle g:\left[a,b\right]\to \mathbb {R} }$ ma wahanie ograniczone na przedziale ${\displaystyle [a,b]}$ i jest funkcją prawostronnie ciągłą lub gdy ${\displaystyle f}$ jest nieujemne, ${\displaystyle g}$ jest monotoniczna i prawostronnie ciągła. Na początek załóżmy, że ${\displaystyle f}$ jest nieujemne, a ${\displaystyle g}$ jest niemalejąca i prawostronnie ciągła. Zdefiniujmy ${\displaystyle w\left((s,t]\right)=g(t)-g(s)}$ oraz ${\displaystyle w\left(\{t\}\right)=0.}$ Alternatywnie dla funkcji ${\displaystyle g}$ lewostronnie ciągłej definiujemy ${\displaystyle w\left([s,t)\right)=g(t)-g(s)}$ oraz ${\displaystyle w\left(\{t\}\right)=0.}$

Na mocy twierdzenia Carathéodory’ego o rozszerzaniu miary istnieje jednoznacznie określona miara ${\displaystyle \mu _{g}}$ na borelowskich podzbiorach ${\displaystyle [a,b],}$ która jest zgodna z ${\displaystyle w}$ na każdym przedziale. Miara ${\displaystyle \mu _{g}}$ pochodzi od miary zewnętrznej danej wzorem:

${\displaystyle \mu _{g}(E)=\inf \left\{\sum _{i}\mu _{g}(I_{i})\ :\ E\subseteq \bigcup _{i}I_{i}\right\},}$

gdzie infimum jest brane po wszystkich pokryciach zbioru ${\displaystyle E}$ przeliczalnie wieloma przedziałami otwartymi. Miara ta jest czasami nazywana miarą Lebesgue’a-Stieltjesa związaną z ${\displaystyle g}$^[1].

Całka Lebesgue’a-Stieltjesa

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dg(x)}$

jest definiowana jako całka Lebesgue’a funkcji ${\displaystyle f}$ względem miary ${\displaystyle \mu _{g}}$ w zwykły sposób. Jeśli ${\displaystyle g}$ jest funkcją nierosnącą, to definiujemy

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dg(x)=-\int _{a}^{b}f(x)\,d(-g)(x).}$

Całka po prawej stronie równania jest względem funkcji niemalejącej i już została zdefiniowana wcześniej.

Jeśli ${\displaystyle g}$ ma wahanie ograniczone i ${\displaystyle f}$ jest ograniczona, to można przedstawić ${\displaystyle g}$ w postaci różnicy dwóch funkcji niemalejących ${\displaystyle g_{1},g_{2}}$ i wtedy

${\displaystyle dg(x)=dg_{1}(x)-dg_{2}(x).}$

Teraz całka Lebesgue’a-Stieltjesa względem ${\displaystyle g}$ jest zdefiniowana wzorem

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dg(x)=\int _{a}^{b}f(x)\,dg_{1}(x)-\int _{a}^{b}f(x)\,dg_{2}(x),}$

gdzie dwie ostatnie całki zostały już zdefiniowane^[2].

Całka Daniella

Alternatywne podejście polega na zdefiniowaniu całki Lebesgue’a-Stieltjesa jako całki Daniella, która uogólnia zwykłą całkę Riemanna-Stieltjesa. Niech ${\displaystyle g}$ będzie niemalejącą prawostronnie ciągłą funkcją na ${\displaystyle [a,b]}$ i zdefiniujmy całkę Riemanna-Stieltjesa ${\displaystyle I(f)}$ jako

${\displaystyle I(f)=\int _{a}^{b}f(x)\,dg(x)}$

dla wszystkich funkcji ciągłych ${\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} .}$ Funkcjonał ${\displaystyle I}$ definiuje miarę Radona na ${\displaystyle [a,b].}$ Funkcjonał ten można następnie rozszerzyć na klasę wszystkich funkcji nieujemnych, ustalając

${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {I}}(h)&=\sup \left\{I(f)\ :\ f\in C[a,b],0\leqslant f\leqslant h\right\}\\{\overline {\overline {I}}}(h)&=\inf \left\{I(f)\ :\ f\in C[a,b],h\leqslant f\right\}.\end{aligned}}}$

Dla funkcji borelowsko mierzalnych mamy

${\displaystyle {\overline {I}}(h)={\overline {\overline {I}}}(h),}$

a każda strona tożsamości definiuje całkę Lebesgue’a-Stieltjesa z ${\displaystyle h.}$ Miarę zewnętrzną ${\displaystyle \mu _{g}}$ definiuje się wzorem

${\displaystyle \mu _{g}(A)={\overline {\overline {I}}}(\chi _{A})}$

gdzie ${\displaystyle \chi _{A}}$ jest funkcją charakterystyczną zbioru ${\displaystyle A.}$

W przypadku całkowania względem funkcji o wahaniu ograniczonym, podobnie jak wcześniej rozkładamy ją na różnicę dwóch funkcji niemalejących.

Przykład

Załóżmy, że ${\displaystyle \gamma :[a,b]\to \mathbb {R} ^{2}}$ jest krzywą prostowalną na płaszczyźnie i ${\displaystyle \rho :\mathbb {R} ^{2}\to [0,\infty )}$ jest borelowsko mierzalna. Następnie możemy zdefiniować długość krzywej ${\displaystyle \gamma }$ względem metryki euklidesowej pomnożonej przez ${\displaystyle \rho .}$ Wyraża się to wzorem:

${\displaystyle \int _{a}^{b}\rho (\gamma (t))\,d\ell (t),}$

gdzie ${\displaystyle \ell (t)}$ jest długością krzywej ${\displaystyle \gamma }$ ograniczonej do przedziału ${\displaystyle [a,t]}$ w standardowej metryce euklidesowej. Taka całka jest nazywana ${\displaystyle \rho }$-długością krzywej ${\displaystyle \gamma .}$ Pojęcie to jest bardzo przydatne w różnych zastosowaniach. Rozważmy na przykład błotnisty teren, na którym prędkość, z jaką człowiek może się poruszać, zależy od położenia. Gdyby ${\displaystyle \rho (z)}$ oznaczało odwrotność tej prędkości w punkcie ${\displaystyle z,}$ to ${\displaystyle \rho }$-długość jest czasem potrzebnym na przejście wzdłuż krzywej ${\displaystyle \gamma .}$ Można to wykorzystywać w zagadnieniach wariacyjnych znajdowania drogi o najkrótszym czasie.

Całkowanie przez części

Funkcję ${\displaystyle f}$ będziemy nazywali regularną w punkcie ${\displaystyle a,}$ jeśli granice prawo- i lewostronna ${\displaystyle f(a^{+})}$ i ${\displaystyle f(a^{-})}$ istnieją, a do tego funkcja w ${\displaystyle a}$ przyjmuje wartość równą ich średniej arytmetycznej:

${\displaystyle f(a)={\frac {f(a^{-})+f(a^{+})}{2}}.}$

Dla danych dwóch funkcji ${\displaystyle u}$ i ${\displaystyle v}$ o wahaniu skończonym, jeśli w każdym punkcie przynajmniej jedna z nich jest ciągła lub też obie są regularne, to zachodzi wzór na całkowanie przez części dla całki Lebesgue’a-Stieltjesa^[3]:

${\displaystyle \int _{a}^{b}u\,dv+\int _{a}^{b}v\,du=u(b^{+})v(b^{+})-u(a^{-})v(a^{-}),\qquad -\infty <a<b<\infty .}$

Tutaj odpowiednie miary Lebesgue’a-Stieltjesa są powiązane z prawostronnie ciągłymi modyfikacjami funkcji ${\displaystyle u}$ i ${\displaystyle v,}$ czyli takimi, że ${\displaystyle {\tilde {u}}(x)=\lim _{t\to x+}u(t)}$ i podobnie ${\displaystyle {\tilde {u}}(x).}$ Ograniczony przedział ${\displaystyle (a,b)}$ można zastąpić przedziałem nieograniczonym ${\displaystyle (-\infty ,b),(a,\infty )}$ lub ${\displaystyle (-\infty ,\infty )}$ pod warunkiem, że ${\displaystyle u}$ i ${\displaystyle v}$ mają wahanie ograniczone na tych przedziałach. Można również stosować ten wzór w stosunku do funkcji o wartościach zespolonych.

Inny ważny wynik, mający istotne znaczenie w analizie stochastycznej, jest następujący: niech ${\displaystyle u,v}$ będą funkcjami o wahaniu ograniczonych, które są prawostronnie ciągłe i mają lewostronne granice (tzw. funkcje càdlàg), wówczas

${\displaystyle u(t)v(t)=u(0)v(0)+\int _{(0,t]}u(s^{-})\,dv(s)+\int _{(0,t]}v(s^{-})\,du(s)+\sum _{x\in (0,t]}\Delta u_{x}\Delta v_{x},}$

gdzie ${\displaystyle \Delta u_{x}=u(x)-u(x^{-}).}$ Wynik ten może być postrzegany jako początek do wyprowadzenia wzoru Itô i ma zastosowanie w ogólnej teorii całkowania procesów stochastycznych. Ostatnim człon to w istocie ${\displaystyle \Delta u(x)v(x)=\;d\langle u,v\rangle ,}$ co wynika z definicji kowariancji kwadratowej ${\displaystyle u}$ i ${\displaystyle v.}$

Pojęcia pokrewne

Całka Lebesgue’a

Jeśli ${\displaystyle g(x)=x}$ dla wszystkich rzeczywistych ${\displaystyle x,}$ to ${\displaystyle \mu _{g}}$ jest miarą Lebesgue’a na prostej, a całka Lebesgue’a-Stieltjesa funkcji ${\displaystyle f}$ względem ${\displaystyle g}$ jest równoważna całce Lebesgue’a z ${\displaystyle f.}$

Całka Riemanna-Stieltjesa i rachunek prawdopodobieństwa

Gdy ${\displaystyle f}$ jest funkcją ciągłą o wartościach rzeczywistych zmiennej rzeczywistej, a ${\displaystyle F}$ jest niemalejącą funkcją rzeczywistą, całka Lebesgue’a-Stieltjesa jest równoważna całce Riemanna-Stieltjesa i często jest to zapisywane po prostu

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dF(x)}$

i rozumiane jako całka Lebesgue’a-Stieltjesa, a miara ${\displaystyle \mu _{F}}$ jest traktowana jako domyślna. Jest to szczególnie powszechne w rachunku prawdopodobieństwa, gdzie ${\displaystyle F}$ jest dystrybuantą zmiennej losowej ${\displaystyle X}$ o wartościach rzeczywistej i wówczas

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dF(x)=\mathrm {E} [f(X)].}$

Przypisy

Bibliografia

• Paul R. Halmos: Measure Theory. Berlin, New York: Springer-Verlag, 1974. ISBN 978-0-387-90088-9.
• Edwin Hewitt, Karl Stromberg: Real and abstract analysis. Springer-Verlag, 1965.
• Stanisław Saks: Theory of the Integral. 1937.
• G.E. Shilov, B.L. Gurevich: Integral, Measure, and Derivative: A Unified Approach. trans. Dover Publications, 1978. ISBN 0-486-63519-8.

Całki

Całkowanie numeryczne	całka Riemanna / całka Darboux całka Lebesgue’a całka Burkilla całka Bochnera całka Daniella-Stone’a całka Henstocka-Kurzweila całka Haara całka Hellingera całka Chinczyna całka Kołmogorowa całka McShane’a całka Pettisa całka Pfeffera całka Stieltjesa całka Lebesgue’a-Stieltjesa całka Riemanna-Stieltjesa
Metody	całkowanie przez części całkowanie przez podstawienie podstawienia Eulera podstawienie trygonometryczne podstawienie uniwersalne całka funkcji odwrotnej zmiana kolejności całkowania całkowanie przez ułamki proste całkowanie za pomocą wzorów redukcyjnych zob. tablice całek całkowanie metodą uzmiennienia stałych przy pomocy pochodnych parametrycznych całkowanie za pomocą wzoru Eulera różniczkowanie pod znakiem całki całka krzywoliniowa całkowanie metodą współczynników nieoznaczonych
Całki niewłaściwe	całka niewłaściwa całka Gaussa
Całki stochastyczne	całka Itô całka Stratonowicza twierdzenie Riesza-Skorochoda

(c) I, KSmrq, CC-BY-SA-3.0