Całka Riemanna-Stieltjesa

Całka Riemanna-Stieltjesa stanowi uogólnienie całki Riemanna^[1].

Definicja

Całkę Riemanna-Stieltjesa funkcji rzeczywistej ${\displaystyle f}$ względem funkcji ${\displaystyle g}$ na przedziale ${\displaystyle [a,b]}$ oznacza się symbolem

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dg(x)}$

i definiuje jako granice po wszystkich podziałach

${\displaystyle P=\{x_{0},\ x_{1},\dots ,\ x_{n}:a=x_{0}<x_{1}<\cdots <x_{n}=b\}}$

o średnicach zbiegających do zera z następujących sum całkowych

${\displaystyle S(P,f,g)=\sum _{i=0}^{n-1}f(c_{i})(g(x_{i+1})-g(x_{i})),}$

gdzie ${\displaystyle c_{i}\in [x_{i},x_{i+1}].}$

Przez granicę sum całkowych rozumie się liczbę ${\displaystyle A}$ (zwaną wartością całki Riemanna-Stieltjesa) taką, że dla każdego ${\displaystyle \varepsilon >0}$ istnieje liczba ${\displaystyle \delta >0}$ taka, że dla każdego podziału ${\displaystyle P=\{a=x_{0}<x_{1}<\cdots <x_{n}=b\}}$ o średnicy ${\displaystyle d(P)=\max\{x_{i+1}-x_{i}:i=0,\dots ,n-1\}<\delta }$ i dowolnych ${\displaystyle c_{i}\in [x_{i},x_{i+1}]}$ zachodzi

${\displaystyle |S(P,f,g)-A|<\varepsilon .}$

Całka Riemanna-Stieltjesa a całka Riemanna

Jeśli ${\displaystyle g(x)=x,}$ to wprost z definicji widać, że całka ${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dg(x)}$ jest całką Riemanna ${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx.}$ Prawdziwy jest ogólniejszy fakt – jeśli ${\displaystyle g}$ jest różniczkowalna w każdym punkcie swojej dziedziny, to

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dg(x)=\int _{a}^{b}f(x)g'(x)\,dx.}$

W powyższej równości całka po prawej stronie to całka Riemanna.

Całka Riemanna-Stieltjesa a wahanie funkcji

Wprost z definicji całki Riemanna-Stieltjesa i wahania funkcji otrzymujemy następującą zależność

${\displaystyle \int _{a}^{b}1\,dg(x)=V_{a}^{b}(g).}$

Zatem jeśli ${\displaystyle g}$ nie ma wahania skończonego, to całka ${\displaystyle \int _{a}^{b}1\,dg(x)}$ nie istnieje. Stąd w rozważaniach nad całką Riemanna-Stieltjesa z reguły zakłada się, że ${\displaystyle g}$ ma wahanie skończone. Jeśli ${\displaystyle g(x)}$ ma wahanie skończone, to jest różnicą ${\displaystyle h(x)-j(x)}$ dwóch funkcji monotonicznych i wówczas

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dg(x)=\int _{a}^{b}f(x)\,dh(x)-\int _{a}^{b}f(x)\,dj(x).}$

Z tego względu często rozważa się własności całki Riemanna-Stieltjesa względem funkcji monotonicznych ${\displaystyle g,}$ by następnie korzystając z powyższego wzoru przejść do ogólnych rozważań.

Przypisy

Całki

Całkowanie numeryczne	całka Riemanna / całka Darboux całka Lebesgue’a całka Burkilla całka Bochnera całka Daniella-Stone’a całka Henstocka-Kurzweila całka Haara całka Hellingera całka Chinczyna całka Kołmogorowa całka McShane’a całka Pettisa całka Pfeffera całka Stieltjesa całka Lebesgue’a-Stieltjesa całka Riemanna-Stieltjesa
Metody	całkowanie przez części całkowanie przez podstawienie podstawienia Eulera podstawienie trygonometryczne podstawienie uniwersalne całka funkcji odwrotnej zmiana kolejności całkowania całkowanie przez ułamki proste całkowanie za pomocą wzorów redukcyjnych zob. tablice całek całkowanie metodą uzmiennienia stałych przy pomocy pochodnych parametrycznych całkowanie za pomocą wzoru Eulera różniczkowanie pod znakiem całki całka krzywoliniowa całkowanie metodą współczynników nieoznaczonych
Całki niewłaściwe	całka niewłaściwa całka Gaussa
Całki stochastyczne	całka Itô całka Stratonowicza twierdzenie Riesza-Skorochoda

(c) I, KSmrq, CC-BY-SA-3.0