Całka wielokrotna

Całka wielokrotna stopnia ${\displaystyle n}$ – całka po ${\displaystyle n}$ zmiennych z funkcji ${\displaystyle n}$ zmiennych:

${\displaystyle \iiint \limits _{\Omega }\cdots \int f(x_{1},x_{2},x_{3},\dots x_{n})\;dx_{1}\;dx_{2}\;dx_{3}\cdots \;dx_{n}.}$

Szczególne przypadki całki wielokrotnej, to:

• całka podwójna

${\displaystyle \iint \limits _{D}f(x,y)\;dx\;dy;}$

• całka potrójna

${\displaystyle \iiint \limits _{V}f(x,y,z)\;dx\;dy\;dz.}$

Całka potrójna

Całka ta ma interpretację masy zawartej w bryle o gęstości ${\displaystyle \rho =f(x,y,z).}$

Zamiana na całkę iterowaną

Jeżeli ${\displaystyle V}$ jest odpowiednim obszarem normalnym ${\displaystyle V=\{a\leqslant x\leqslant b;\ g(x)\leqslant y\leqslant h(x);\ p(x,y)\leqslant z\leqslant q(x,y)\},}$ to

${\displaystyle \iiint \limits _{V}f(x,y,z)\;dx\;dy\;dz=\int \limits _{a}^{b}{\bigg (}\int \limits _{g(x)}^{h(x)}{\bigg (}\int \limits _{p(x,y)}^{q(x,y)}f(x,y,z)\;dz{\bigg )}\;dy{\bigg )}\;dx\;{\overset {\underset {\mathrm {ozn} }{}}{=}}\int \limits _{a}^{b}dx\int \limits _{g(x)}^{h(x)}dy\int \limits _{p(x,y)}^{q(x,y)}f(x,y,z)\;dz.}$

Jeżeli ${\displaystyle V=\{(x,y)\in D;\ p(x,y)\leqslant z\leqslant q(x,y)\},}$ to

${\displaystyle \iiint \limits _{V}f(x,y,z)\;dx\;dy\;dz=\iint \limits _{D}{\bigg (}\int \limits _{p(x,y)}^{q(x,y)}f(x,y,z)\;dz{\bigg )}\;dx\;dy.}$

Analogicznie zamieniamy na całkę iterowaną inne całki po obszarze normalnym. Taka zamiana jest szczególnie prosta w przypadku całkowania po prostopadłościanie. Jeżeli obszar ${\displaystyle V}$ nie jest obszarem normalnym, dzielimy go na obszary normalne.

Zamiana zmiennych

Niech obszar regularny domknięty ${\displaystyle D}$ jest obrazem obszaru regularnego domkniętego \Omega w przekształceniu

${\displaystyle \Phi =\{x=x(u,v,w),\ y=y(u,v,w),\ z=z(u,v,w)\},}$

które jest klasy C¹ w pewnym obszarze zawierającym obszar ${\displaystyle \Omega }$ oraz

którego jakobian ${\displaystyle J={\frac {D(x,y,z)}{D(u,v,w)}}={\begin{vmatrix}x'_{u}&x'_{v}&x'_{w}\\y'_{u}&y'_{v}&y'_{w}\\z'_{u}&z'_{v}&z'_{w}\end{vmatrix}}}$ jest różny od zera wewnątrz ${\displaystyle \Omega .}$

Ponadto niech ${\displaystyle f}$ jest dowolną funkcją ciągłą w ${\displaystyle D.}$ Wtedy

${\displaystyle \iiint \limits _{D}f(x,y,z)\;dx\;dy\;dz=\iiint \limits _{\Omega }f(x(u,v,w),\ y(u,v,w),\ z(u,v,w))|J|\;du\;dv\;dw.}$

Uwaga. ${\displaystyle |J|}$ oznacza wartość bezwzględną jakobianu, zaś ${\displaystyle x'_{u}={\frac {\partial x}{\partial u}}}$ oznacza pochodną cząstkową i analogiczne znaczenia mają wszystkie inne litery ze wskaźnikami dolnymi.