Całki eliptyczne

Całki eliptyczne – to ważna klasa całek postaci^[1]:

gdzie ${\displaystyle R(x,y)}$ jest funkcją wymierną zmiennych ${\displaystyle x}$ i ${\displaystyle y,}$ a ${\displaystyle W(x)}$ jest wielomianem o współczynnikach rzeczywistych stopnia 3 lub 4.

Nazwa całek eliptycznych

Z całkami eliptycznymi po raz pierwszy zetknięto się podczas obliczania obwodu elipsy, stąd też wzięły swoją nazwę. Nazwa ich nie jest jednak jednoznaczna, ponieważ w ścisłym znaczeniu dotyczy tylko tych całek postaci (1), które nie dają się wyrazić za pomocą funkcji elementarnych. Te z nich, które sprowadzają się do postaci skończonej, nazywa się całkami pseudoeliptycznymi.

Rodzaje całek eliptycznych

Choć całki postaci (1) nie wyrażają się zwykle przez funkcje elementarne, to każdą z nich można za pomocą podstawień doprowadzić do jednej z następujących trzech całek

• ${\displaystyle \int {\frac {dt}{\sqrt {\left(1-t^{2}\right)\left(1-k^{2}t^{2}\right)}}}\ \ (0<k<1),}$
• ${\displaystyle \int {\frac {\left(1-k^{2}t^{2}\right)dt}{\sqrt {\left(1-t^{2}\right)\left(1-k^{2}t^{2}\right)}}}\ \ (0<k<1),}$
• ${\displaystyle \int {\frac {dt}{\left(1+ht^{2}\right){\sqrt {\left(1-t^{2}\right)\left(1-k^{2}t^{2}\right)}}}}\ \ (0<k<1),\quad {}}$ h – parametr zespolony.

Całek tych, jak pokazał Liouville, nie da już wyrazić się za pomocą funkcji elementarnych.

Legendre zastosował podstawienie ${\displaystyle t=\sin \varphi ,}$ dzięki czemu całki te uprościły swoją postać do całek, które nazywamy odpowiednio całką eliptyczną pierwszego, drugiego i trzeciego rodzaju w postaci Legendre’a, tj.

• ${\displaystyle \int {\frac {d\phi }{\sqrt {\left(1-k^{2}\sin ^{2}\phi \right)}}}\ \ (0<k<1)}$ – całka eliptyczna 1. rodzaju,
• ${\displaystyle \int {\sqrt {\left(1-k^{2}\sin ^{2}\phi \right)}}\;d\phi \ \ (0<k<1)}$ – całka eliptyczna 2. rodzaju,
• ${\displaystyle \int {\frac {d\phi }{\left(1+h\sin ^{2}\phi \right){\sqrt {\left(1-k^{2}\sin ^{2}\phi \right)}}}}\ \ (0<k<1)}$ – całka eliptyczna 3. rodzaju.

Szczególnie ważne i często używane są pierwsze dwie z nich.

Całki eliptyczne oznaczone

Całki eliptyczne niezupełne

Powyższe całki eliptyczne 1. i 2. rodzaju traktowane jako całki oznaczone w granicach od 0 do ${\displaystyle \psi }$ oznacza się za Legendre’em odpowiednio

• ${\displaystyle F(k,\psi )=\int \limits _{0}^{\psi }{\frac {d\phi }{\sqrt {\left(1-k^{2}\sin ^{2}\phi \right)}}}\ \ (0<k<1)}$ – eliptyczna całka oznaczona 1. rodzaju,
• ${\displaystyle E(k,\psi )=\int \limits _{0}^{\psi }{\sqrt {\left(1-k^{2}\sin ^{2}\phi \right)}}\;d\phi \ \ (0<k<1)}$ – eliptyczna całka oznaczona 2. rodzaju.

Parametr ${\displaystyle k}$ występujący w funkcjach ${\displaystyle F}$ oraz ${\displaystyle E}$ nazywamy modułem.

Całki eliptyczne zupełne

Całki eliptyczne ${\displaystyle F}$ oraz ${\displaystyle E}$ nazywamy całkami eliptycznymi niezupełnymi dla odróżnienia od całek eliptycznych zupełnych, które oblicza się w zakresie od 0 do ${\displaystyle \pi /2}$

• ${\displaystyle {\text{K}}(k)=F\left(k,{\frac {\pi }{2}}\right)=\int \limits _{0}^{\pi /2}{\frac {d\phi }{\sqrt {\left(1-k^{2}\sin ^{2}\phi \right)}}}\ \ (0<k<1),}$
• ${\displaystyle {\text{E}}(k)=E\left(k,{\frac {\pi }{2}}\right)=\int \limits _{0}^{\pi /2}{\sqrt {\left(1-k^{2}\sin ^{2}\phi \right)}}\;d\phi \ \ (0<k<1).}$

Wartości całek eliptycznych zupełnych ${\displaystyle {\text{K}}}$ oraz ${\displaystyle {\text{E}}}$ są stabelaryzowane i można je znaleźć w tablicach matematycznych.

Obliczanie obwodu elipsy

Dokładną wartość obwodu elipsy wyznacza całka eliptyczna zupełna drugiego rodzaju, wzorem^[2]

${\displaystyle l=4a\,{\text{E}}{\big (}e{\big )},}$

gdzie ${\displaystyle e={\sqrt {a^{2}-b^{2}}}/a={\sqrt {1-(b/a)^{2}}}}$ – mimośród elipsy.

Np. dla ${\displaystyle a=2}$ oraz ${\displaystyle b=1}$ mimośród wynosi ${\displaystyle e=0{,}866025,}$ co daje w przybliżeniu obwód elipsy równy ${\displaystyle l=9{,}6884482.}$

Całki eliptyczne jako podklasa całek Abela

Całki tego rodzaju, w których za zmienną ${\displaystyle y}$ podstawia się dowolną funkcję algebraiczną zmiennej ${\displaystyle x,}$ taką że

${\displaystyle P(x,y)=0,}$

gdzie ${\displaystyle P(x,y)}$ jest wielomianem względem zmiennych ${\displaystyle x}$ i ${\displaystyle y,}$ nazywa się czasem całkami Abela. Całki eliptyczne są więc podklasą całek Abela.

Funkcje odwrotne do całek eliptycznych

Funkcjami odwrotnymi do całek eliptycznych są funkcje eliptyczne. Na przykład funkcja eliptyczna Weierstrassa ${\displaystyle \wp (z,g_{2},g_{3})}$ zmiennej zespolonej ${\displaystyle z}$ o parametrach ${\displaystyle g_{2},g_{3}}$ jest funkcją odwrotną do funkcji wyrażonej przez całkę

${\displaystyle z(w)=\int \limits _{w}^{\infty }{\frac {dt}{\sqrt {4t^{3}-g_{2}t-g_{3}}}},}$

tzn.

${\displaystyle w=\wp (z,g_{2},g_{3}),}$

o ile ${\displaystyle z=z(w).}$

Funkcjami odwrotnymi do całek eliptycznych są funkcje amplitudy.

Przypisy

Bibliografia

• I.N. Bronsztejn, K.A. Siemiendiajew, Poradnik encyklopedyczny. Matematyka, PWN, Warszawa 1959, s. 92–93 (Tablice całek), s. 409–410 definicje całek.