Całkowanie przez części

Całkowanie przez części to jedna z metod obliczania zamkniętych form całek postaci:

${\displaystyle \int f(x)g(x)dx.}$

Jeśli potrafimy znaleźć takie ${\displaystyle h(x),}$ że ${\displaystyle h'(x)=f(x),}$ to możemy przekształcić tę całkę do postaci^[1]:

${\displaystyle \int f(x)g(x)dx=\int h'(x)g(x)dx=h(x)g(x)-\int h(x)g'(x)dx.}$

W przypadku całek oznaczonych granice całkowania uwzględnia się także w części równania zostającej poza całką:

${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}h'(x)g(x)dx=\left[h(x)g(x)\right]_{a}^{b}-\int \limits _{a}^{b}h(x)g'(x)dx.}$

Często stosuje się zapis skrócony wzoru:

${\displaystyle \int udv=uv-\int vdu.}$

Dowód

Metoda całkowania przez części wynika ze wzoru na pochodną iloczynu:

${\displaystyle \left(h(x)g(x)\right)'=h(x)g'(x)+h'(x)g(x),}$

${\displaystyle h'(x)g(x)=\left(h(x)g(x)\right)'-h(x)g'(x),}$

${\displaystyle \int h'(x)g(x)dx=h(x)g(x)-\int h(x)g'(x)dx.}$

Całki pętlące się (zwrotne)

W przypadku całki z iloczynu funkcji, których kolejne pochodne powtarzają się okresowo, mamy do czynienia z tzw. całką pętlącą się (zwrotną), np.:

${\displaystyle \int e^{x}\cos(x)dx=e^{x}\cos(x)+\int e^{x}\sin(x)dx=e^{x}\cos(x)+e^{x}\sin(x)-\int e^{x}\cos(x)dx.}$

Całka w wyrażeniu po prawej stronie równa się całce po lewej stronie, więc

${\displaystyle 2\int e^{x}\cos(x)dx=e^{x}(\cos(x)+\sin(x))+C,}$

${\displaystyle \int e^{x}\cos(x)dx={\tfrac {1}{2}}e^{x}(\cos(x)+\sin(x))+C'.}$

Zobacz też

• całkowanie przez podstawienie

Przypisy

Całki

Całkowanie numeryczne	całka Riemanna / całka Darboux całka Lebesgue’a całka Burkilla całka Bochnera całka Daniella-Stone’a całka Henstocka-Kurzweila całka Haara całka Hellingera całka Chinczyna całka Kołmogorowa całka McShane’a całka Pettisa całka Pfeffera całka Stieltjesa całka Lebesgue’a-Stieltjesa całka Riemanna-Stieltjesa
Metody	całkowanie przez części całkowanie przez podstawienie podstawienia Eulera podstawienie trygonometryczne podstawienie uniwersalne całka funkcji odwrotnej zmiana kolejności całkowania całkowanie przez ułamki proste całkowanie za pomocą wzorów redukcyjnych zob. tablice całek całkowanie metodą uzmiennienia stałych przy pomocy pochodnych parametrycznych całkowanie za pomocą wzoru Eulera różniczkowanie pod znakiem całki całka krzywoliniowa całkowanie metodą współczynników nieoznaczonych
Całki niewłaściwe	całka niewłaściwa całka Gaussa
Całki stochastyczne	całka Itô całka Stratonowicza twierdzenie Riesza-Skorochoda

(c) I, KSmrq, CC-BY-SA-3.0