Całkowanie przez podstawienie

Całkowanie przez podstawienie – jedna z metod obliczania zamkniętych form całek.

Opis metody

Jeśli:

• Funkcja ${\displaystyle \psi (x)}$ jest różniczkowalna w ${\displaystyle D}$
• ${\displaystyle I=\psi (D)}$ jest przedziałem
• Funkcja ${\displaystyle g(x)}$ ma funkcję pierwotną w przedziale ${\displaystyle I,}$ tzn. ${\displaystyle G'(t)=g(t)}$ dla ${\displaystyle t}$ należących do ${\displaystyle I}$
• ${\displaystyle f(x)=g(\psi (x))\cdot \psi '(x),x\in D}$

to funkcja ${\displaystyle f}$ jest całkowalna w ${\displaystyle D}$ oraz:

${\displaystyle \int f(x)dx=\int g(\psi (x))\cdot \psi '(x)dx=G(\psi (x))+C}$

Równoważnie, jeśli całkę można sprowadzić do postaci:

${\displaystyle \int f(g(x))g'(x)dx,}$

to można zmienić podstawę całkowania na ${\displaystyle g(x){:}}$

${\displaystyle \int f(g(x))dg(x).}$

W przypadku obliczania całek oznaczonych poprzez podstawienie zmianie ulegają granice całkowania. W takim przypadku twierdzenie o całkowaniu przez podstawienie wygląda następująco:

Założenia:

• Funkcja ${\displaystyle f}$ jest całkowalna w swej dziedzinie.
• Funkcja ${\displaystyle g}$ określona na przedziale ${\displaystyle [a;b]}$ jest różniczkowalna w sposób ciągły.
• ${\displaystyle g'(x)\neq 0}$ dla każdego ${\displaystyle x}$ z przedziału ${\displaystyle (a;b).}$
• Obraz funkcji ${\displaystyle g}$ zawiera się w dziedzinie funkcji ${\displaystyle f.}$

Wówczas^[1]:

${\displaystyle \int \limits _{g(a)}^{g(b)}f(x)dx=\int \limits _{a}^{b}f(g(t))\cdot g'(t)dt}$

Przykłady

• Obliczając całkę ${\displaystyle \int {\frac {\ln(x)}{x}}dx,}$ zastosować można podstawienie ${\displaystyle \ln(x)=t,}$ tzn. ${\displaystyle {\tfrac {dx}{x}}=dt,}$ więc:

${\displaystyle \int {\frac {\ln(x)}{x}}dx=\int t\ dt={\tfrac {1}{2}}t^{2}+C={\tfrac {1}{2}}\ln ^{2}(x)+C.}$

• Przykład zastosowania metody całkowania przez podstawienie z pominięciem pomocniczej zmiennej:

${\displaystyle \int \sin(2x+3)dx={\frac {1}{2}}\int \sin(2x+3)\cdot 2dx={\frac {1}{2}}\int \sin(2x+3)\cdot d(2x+3)=-{\frac {1}{2}}\cos(2x+3)+C.}$

Przydatne podstawienia

Całkowanie funkcji trygonometrycznych

Całkując funkcje wymierne funkcji trygonometrycznych (czyli funkcje postaci ${\displaystyle R(\sin x,\cos x)}$) stosuje się podstawienia pozwalające na wyeliminowanie ich z obliczeń:

• W ogólności stosować można zawsze tzw. podstawienie uniwersalne ${\displaystyle t=\operatorname {tg} {\frac {x}{2}}.}$ Jeżeli jednak funkcja spełnia jeden z podanych niżej warunków, wygodniej jest stosować podstawienie z nim związane.
• Jeśli funkcja jest nieparzysta ze względu na sinus ${\displaystyle (R(-\sin x,\cos x)=-R(\sin x,\cos x)),}$ stosuje się podstawienie ${\displaystyle t=\cos x}$
• Jeśli funkcja jest nieparzysta ze względu na cosinus ${\displaystyle (R(\sin x,-\cos x)=-R(\sin x,\cos x)),}$ stosuje się podstawienie ${\displaystyle t=\sin x}$
• Jeśli funkcja jest parzysta ze względu na sinus i cosinus równocześnie ${\displaystyle (R(-\sin x,-\cos x)=R(\sin x,\cos x)),}$ stosuje się podstawienie ${\displaystyle t=\operatorname {tg} x}$

Za pomocą jedynki trygonometrycznej oraz innych tożsamości trygonometrycznych można wyprowadzić czynniki zastępujące funkcje trygonometryczne, w szczególności w przypadku podstawienia uniwersalnego:

${\displaystyle t=\operatorname {tg} {\frac {x}{2}}}$

${\displaystyle {\frac {x}{2}}=\operatorname {arctg} t}$

${\displaystyle dx={\frac {2}{1+t^{2}}}dt}$

zachodzi:

${\displaystyle \sin x={\frac {2\sin {\frac {x}{2}}\cos {\frac {x}{2}}}{\sin ^{2}{\frac {x}{2}}+\cos ^{2}{\frac {x}{2}}}}={\frac {2{\frac {\sin {\frac {x}{2}}}{\cos {\frac {x}{2}}}}}{{\frac {\sin ^{2}{\frac {x}{2}}}{\cos ^{2}{\frac {x}{2}}}}+1}}={\frac {2t}{t^{2}+1}}}$

${\displaystyle \cos x={\frac {\cos ^{2}{\frac {x}{2}}-\sin ^{2}{\frac {x}{2}}}{\cos ^{2}{\frac {x}{2}}+\sin ^{2}{\frac {x}{2}}}}={\frac {1-{\frac {\sin ^{2}{\frac {x}{2}}}{\cos ^{2}{\frac {x}{2}}}}}{1+{\frac {\sin ^{2}{\frac {x}{2}}}{\cos ^{2}{\frac {x}{2}}}}}}={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}}$

W przypadku podstawienia ${\displaystyle t=\operatorname {tg} x}$ mamy dla funkcji postaci ${\displaystyle R(\sin ^{2}x,\cos ^{2}x,\sin x\cos x){:}}$

${\displaystyle x=\operatorname {arctg} t,}$ ${\displaystyle dx={\frac {dt}{1+t^{2}}}}$

${\displaystyle \sin ^{2}x={\frac {\sin ^{2}x}{\sin ^{2}x+\cos ^{2}x}}\cdot {\frac {\cos ^{2}x}{\cos ^{2}x}}={\frac {t^{2}}{t^{2}+1}}}$

${\displaystyle \cos ^{2}x={\frac {\cos ^{2}x}{\sin ^{2}x+\cos ^{2}x}}\cdot {\frac {\cos ^{2}x}{\cos ^{2}x}}={\frac {1}{t^{2}+1}}}$

${\displaystyle \sin x\cos x={\frac {\sin x\cos x}{\sin ^{2}x+\cos ^{2}x}}\cdot {\frac {\cos ^{2}x}{\cos ^{2}x}}={\frac {t}{t^{2}+1}}}$

Przykłady

Przykład zastosowania podstawienia uniwersalnego:

${\displaystyle \int {\frac {dx}{1+\sin x+\cos x}}=\int {\frac {{\frac {2}{1+t^{2}}}dt}{1+{\frac {2t}{t^{2}+1}}+{\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}}}=\int {\frac {2dt}{1+t^{2}+2t+1-t^{2}}}=}$

${\displaystyle =\int {\frac {dt}{t+1}}=\ln |t+1|+C=\ln |\operatorname {tg} {\frac {x}{2}}+1|+C}$

Podstawienia Eulera

Podstawienia Eulera stosuje się przy obliczaniu całek funkcji postaci ${\displaystyle R({\sqrt {ax^{2}+bx+c}},x),}$ gdzie R jest funkcją wymierną.

I podstawienie Eulera

I podstawienie można stosować, gdy a>0. Przyjmuje się wtedy: ${\displaystyle {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}=t-{\sqrt {a}}\;x.}$ Wobec tego otrzymuje się:

${\displaystyle ax^{2}+bx+c=ax^{2}-2{\sqrt {a}}\;x\;t+t^{2}\implies x(b+2{\sqrt {a}}\;t)=t^{2}-c\implies x={\frac {t^{2}-c}{b+2{\sqrt {a}}\;t}},}$

${\displaystyle dx={\frac {2t(b+2{\sqrt {a}}\;t)-2{\sqrt {a}}\;(t^{2}-c)}{(b+2{\sqrt {a}}\;t)^{2}}}dt.}$

Zgodnie z przyjętym podstawieniem zachodzi: ${\displaystyle {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}={\sqrt {a}}\;{\frac {c-t^{2}}{b+2{\sqrt {a}}\;t}}+t.}$

II podstawienie Eulera

II podstawienie można stosować, gdy c>0. Przyjmuje się wtedy:

${\displaystyle {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}=xt+{\sqrt {c}}.}$

Zachodzi:

${\displaystyle ax^{2}+bx+c=x^{2}t^{2}+2{\sqrt {c}}xt+c\implies ax+b=xt^{2}+2{\sqrt {c}}t\implies x(a-t^{2})=2{\sqrt {c}}t-b\implies x={\frac {2{\sqrt {c}}t-b}{a-t^{2}}},}$

${\displaystyle dx={\frac {2{\sqrt {c}}(a-t^{2})+2t(2{\sqrt {c}}t-b)}{(a-t^{2})^{2}}}dt.}$

Zgodnie z przyjętym podstawieniem otrzymuje się: ${\displaystyle {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}={\frac {2{\sqrt {c}}t^{2}-bt}{a-t^{2}}}+{\sqrt {c}}.}$

Drugie podstawienie Eulera można zapisać następująco:

${\displaystyle {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}=(x-\alpha )t-{\sqrt {\lambda }}.}$

Wtedy gdy ${\displaystyle (a>0)\vee (b^{2}-4ac>0),}$ to da się tak dobrać ${\displaystyle \alpha ,}$ aby ${\displaystyle \lambda >0.}$

III podstawienie Eulera

III podstawienie można stosować, gdy istnieją dwa różne pierwiastki rzeczywiste x₀, x₁ trójmianu ${\displaystyle ax^{2}+bx+c.}$ Przyjmuje się wtedy:

${\displaystyle {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}={\sqrt {a(x-x_{0})(x-x_{1})}}=t(x-x_{1}).}$ Stąd:

${\displaystyle (x-x_{1})t^{2}=a(x-x_{0})\implies x(t^{2}-a)=t^{2}x_{1}-ax_{0}\implies x={\frac {t^{2}x_{1}-ax_{0}}{t^{2}-a}},}$

${\displaystyle dx={\frac {2ta(x_{0}-x_{1})}{(t^{2}-a)^{2}}}dt.}$

Zgodnie z przyjętym podstawieniem zachodzi: ${\displaystyle {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}=t\left({\frac {t^{2}x_{1}-ax_{0}}{t^{2}-a}}-x_{1}\right).}$

Całkowanie różniczek dwumiennych

Różniczka dwumienna jest to wyrażenie postaci: ${\displaystyle x^{m}(a+bx^{n})^{p}dx,}$ gdzie ${\displaystyle a}$ i ${\displaystyle b}$ są niezerowymi liczbami rzeczywistymi oraz ${\displaystyle m,n}$ i ${\displaystyle p}$ są pewnymi liczbami wymiernymi. Niech ponadto ${\displaystyle p={\frac {q}{r}},}$ gdzie ${\displaystyle q,r}$ są liczbami całkowitymi. Twierdzenie Czebyszewa mówi, iż całkę

${\displaystyle \int x^{m}(a+bx^{n})^{p}~dx}$

można wyrazić za pomocą skończonej liczby funkcji elementarnych jedynie w trzech przypadkach:

• gdy ${\displaystyle p}$ jest liczbą całkowitą; przypadek nie wymaga podstawień.
• gdy ${\displaystyle {\frac {m+1}{n}}}$ jest liczbą całkowitą; stosuje się wtedy podstawienie ${\displaystyle t={\sqrt[{r}]{a+bx^{n}}}.}$
• gdy ${\displaystyle {\frac {m+1}{n}}+p}$ jest liczbą całkowitą; stosuje się podstawienie ${\displaystyle t={\sqrt[{r}]{\frac {a+bx^{n}}{x^{n}}}}.}$

Podstawienia trygonometryczne

Poniższe typy całek można sprowadzić do całek funkcji wymiernych, których argumentami są funkcje trygonometryczne, przy pomocy podanych podstawień:

• ${\displaystyle \int R(x,{\sqrt {x^{2}+a^{2}}})dx}$ – podstawiamy ${\displaystyle x=a\sinh t}$ lub ${\displaystyle x=a\operatorname {tg} t}$
• ${\displaystyle \int R(x,{\sqrt {x^{2}-a^{2}}})dx}$ – podstawiamy ${\displaystyle x=a\cosh t}$ lub ${\displaystyle x=a\sec t}$
• ${\displaystyle \int R(x,{\sqrt {a^{2}-x^{2}}})dx}$ – podstawiamy ${\displaystyle x=a\operatorname {tgh} t}$ lub ${\displaystyle x=a\sin t}$

Inne podstawienia

• Całki typu ${\displaystyle \int R(e^{x})dx}$ obliczamy przez podstawienie ${\displaystyle e^{x}=t.}$ Stąd: ${\displaystyle x=\ln {t},\quad dx={\frac {dt}{t}}.}$
• Całki typu ${\displaystyle \int R\left(x,\left({\frac {ax+b}{cx+d}}\right)^{p_{1}},\left({\frac {ax+b}{cx+d}}\right)^{p_{2}},\dots ,\left({\frac {ax+b}{cx+d}}\right)^{p_{n}}\right)dx,}$ gdzie p₁, p₂, ..., p_n są liczbami wymiernymi, sprowadzamy do całki funkcji wymiernej podstawiając ${\displaystyle {\frac {ax+b}{cx+d}}=t^{k},}$ gdzie k jest najmniejszą wspólną wielokrotnością liczb p₁, p₂, ..., p_n.

Zobacz też

• całkowanie przez części

Przypisy

Całki

Całkowanie numeryczne	całka Riemanna / całka Darboux całka Lebesgue’a całka Burkilla całka Bochnera całka Daniella-Stone’a całka Henstocka-Kurzweila całka Haara całka Hellingera całka Chinczyna całka Kołmogorowa całka McShane’a całka Pettisa całka Pfeffera całka Stieltjesa całka Lebesgue’a-Stieltjesa całka Riemanna-Stieltjesa
Metody	całkowanie przez części całkowanie przez podstawienie podstawienia Eulera podstawienie trygonometryczne podstawienie uniwersalne całka funkcji odwrotnej zmiana kolejności całkowania całkowanie przez ułamki proste całkowanie za pomocą wzorów redukcyjnych zob. tablice całek całkowanie metodą uzmiennienia stałych przy pomocy pochodnych parametrycznych całkowanie za pomocą wzoru Eulera różniczkowanie pod znakiem całki całka krzywoliniowa całkowanie metodą współczynników nieoznaczonych
Całki niewłaściwe	całka niewłaściwa całka Gaussa
Całki stochastyczne	całka Itô całka Stratonowicza twierdzenie Riesza-Skorochoda

(c) I, KSmrq, CC-BY-SA-3.0