Całkowy sinus hiperboliczny

Całkowy sinus hiperboliczny – funkcja specjalna zdefiniowana jako:

${\displaystyle \mathrm {shi} \,(x)\;{\stackrel {\mathrm {df} }{=}}\,\int \limits _{0}^{x}{\frac {{\sinh }\,(t)}{t}}\,dt}$

gdzie ${\displaystyle {\sinh }(x)}$ jest sinusem hiperbolicznym. Funkcja podcałkowa ma dla ${\displaystyle t=0}$ ma punkt osobliwy i za jej wartość przyjmuje się granicę ${\displaystyle \lim \limits _{t\to 0}{\tfrac {{\sinh }\,(t)}{t}}.}$

Niektóre własności i zależności:

• ${\displaystyle \mathrm {shi} \,(-x)=-\mathrm {shi} \,(x)}$
• ${\displaystyle i\cdot \mathrm {shi} \,(x)=\mathrm {Si} \,(ix)}$
• ${\displaystyle \mathrm {shi} (x)={\tfrac {x}{1\cdot 1!}}+{\tfrac {x^{3}}{3\cdot 3!}}+{\tfrac {x^{5}}{5\cdot 5!}}+{\tfrac {x^{7}}{7\cdot 7!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\tfrac {x^{2n+1}}{(2n+1)\cdot (2n+1)!}}}$
• ${\displaystyle \mathrm {shi} \,(x)={\frac {\mathrm {Ei} (x)-\mathrm {Ei} (-x)}{2}}}$

gdzie ${\displaystyle \mathrm {Ei} \,(x)}$ jest funkcją całkowo-wykładniczą, zaś ${\displaystyle \mathrm {Si} \,(x)}$ jest sinusem całkowym.

Całkowy sinus hiperboliczny występuje w rozwiązaniach równań różniczkowych opisujących niektóre zjawiska w ośrodkach ciągłych (np. przepływ cieczy nienewtonowskich w rurach i szczelinach).