![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a6/Central_limit_thm_1.png/250px-Central_limit_thm_1.png)
Przykładowy rozkład prawdopodobieństwa pewnej zmiennej
![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f8/Central_limit_thm_2.png/250px-Central_limit_thm_2.png)
Rozkład prawdopodobieństwa średniej dwóch takich niezależnych zmiennych
![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/69/Central_limit_thm_3.png/250px-Central_limit_thm_3.png)
Rozkład prawdopodobieństwa średniej trzech takich niezależnych zmiennych
![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/85/Central_limit_thm_4.png/250px-Central_limit_thm_4.png)
Rozkład prawdopodobieństwa średniej czterech takich niezależnych zmiennych. Jest już bardzo zbliżony do rozkładu normalnego.
Centralne twierdzenie graniczne – jedno z najważniejszych twierdzeń rachunku prawdopodobieństwa, uzasadniające powszechne występowanie w przyrodzie rozkładów zbliżonych do rozkładu normalnego.
Wersje
Sformułowanie szczególne
Centralne twierdzenie graniczne to twierdzenie matematyczne mówiące, że jeśli są niezależnymi zmiennymi losowymi pochodzącymi z tej samej populacji o wartości oczekiwanej oraz dodatniej i skończonej wariancji to ciąg zmiennych losowych, w postaci znormalizowanych wartości oczekiwanych
zbieżny jest według rozkładu do standardowego rozkładu normalnego, gdy .
Tzn.
Sformułowanie ogólne
Centralne twierdzenie graniczne znane też pod nazwą twierdzenia Lindeberga-Lévy’ego mówi:
Niech będzie schematem serii, w którym dla i dla każdego mamy Jeśli spełniony jest warunek Lindeberga, tj. dla każdego zachodzi to
Dowód
Dowodów centralnego twierdzenia granicznego w wersji ogólnej jest kilka. Wszystkie są dość skomplikowane i wymagają korzystania z wielu zaawansowanych narzędzi matematycznych. Poniżej znajduje się jeden z prostszych dowodów, nie dający jednak oszacowania wartości błędu.
Pierwszym krokiem dowodu jest sformułowanie i udowodnienie użytecznych lematów.
Lemat 1
Niech będzie funkcją trzykrotnie różniczkowalną taką, że zachodzi oraz Wówczas:
- a)
- b)
Dowód
Oznaczmy Wówczas
Ustalmy dowolne Wówczas zgodnie z twierdzeniem Cauchy’ego istnieją takie że:
Na tej samej zasadzie:
-
Lemat 2
Jeżeli to
Dowód
Dokonujemy podstawienia
Teraz całkujemy przez części:
-
Drugi krok polega na oszacowaniu pewnej wartości:
Niech będzie funkcją trzykrotnie różniczkowalną taką, że oraz
Rozważamy niezależne zmienne o rozkładzie normalnym takie, że oraz
Wówczas:
Przy czym ostatnia nierówność to nierówność trójkąta.
Drugi ze składników daje się na podstawie Lematu 1 oszacować w sposób następujący:
Tymczasem gdzie W związku z tym (korzystając z Lematu 2):
Wobec tego
Pierwszy ze składników można natomiast oszacować w sposób następujący:
Z kolei szacujemy:
oraz
Ostatnia nierówność wynika z Lematu 1.
Zatem mamy następujące oszacowanie:
Trzeci krok polega na wielokrotnym zastosowaniu oszacowania uzyskanego powyżej.
Rozpatrzmy -ty z powyższych wyrazów.
Podstawiamy
Zmienna jest niezależna od i Wobec tego:
Zatem:
Pierwszy i ostatni składnik z warunku Lindeberga zbiegają do zera, gdy dąży do nieskończoności. W związku z tym:
Oznacza to, że:
- gdzie
Czwarty krok polega na wyliczenie dystrybuanty granicznej na podstawie powyższych oszacowań.
Weźmy funkcję spełniającą warunek dla pewnych
Wówczas:
Ale:
oraz
W związku z tym:
oraz podobnie
Otrzymujemy więc
Ale z ciągłości dystrybuanty rozkładu normalnego wnioskujemy, że
Ponieważ punktowa zbieżność dystrybuant w punktach ciągłości dystrybuanty granicznej jest równoważna zbieżności według rozkładu, więc ostatecznie:
Częste nieporozumienia
- Centralne twierdzenie graniczne nie sprawi, by przy dostatecznie dużej próbie rozkład stał się normalny. Jedynie rozkład średniej z tej próby upodabnia się do normalnego.
- Centralne twierdzenie graniczne jest prawdziwe tylko dla rozkładów o skończonej wariancji. Zobacz stabilność struktury.
Zobacz też