Charakterystyka Eulera

Charakterystyka Eulera, charakterystyka Eulera-Poincarégo[1] [2]niezmiennik topologiczny[3] początkowo definiowany jedynie dla wielościanów wypukłych.

Powierzchnie wielościanów wypukłych

Najprostszy podział torusa, pozwalający obliczyć jego charakterystykę Eulera (tu ).

Wprowadźmy oznaczenia:

  • – liczba wierzchołków,
  • – liczba ścian,
  • – liczba krawędzi.

Charakterystykę Eulera, oznaczaną tradycyjnie literą dla powierzchni wielościanów wypukłych definiuje się jako:

[2]

Wielościany wypukłe spełniają twierdzenie Eulera o wielościanach, co oznacza, że zachodzi wzór:

Charakterystyka Eulera powierzchni wielościanów wypukłych wynosi zatem

Własność ta została po raz pierwszy zauważona[4] (jedynie dla brył platońskich) w 1537 roku przez Francesco Maurolico w jego nieopublikowanym manuskrypcie. Następnie, dla wielościanów wypukłych własność tę zauważył Euler. Pierwszy poprawny dowód jej prawdziwości podał Legendre[5].

Wielościany dowolne

Ta sama definicja (czyli ) obowiązuje także dla innych wielościanów. Każda powierzchnia wielościanu homeomorficzna z powierzchnią wielościanu wypukłego ma charakterystykę równą 2. Nie jest to prawdą dla wszystkich powierzchni wielościanów: wszystkie powierzchnie wielościanów homeomorficzne z torusem (czyli takie, przez środek których „przechodzi dokładnie jedna dziura”) mają charakterystykę równą 0.

Definicja ogólna

Niech będzie przestrzenią topologiczną. Jej charakterystykę Eulera definiujemy jako[6]

gdzie jest rangą -tej grupy homologii (tj. -tą liczbą Bettiego) przestrzeni Definicja ta ma sens jedynie wtedy, gdy wszystkie liczby Bettiego oraz ich suma są skończone.

W przypadku, gdy jest skończonym CW-kompleksem, to jego charakterystyka Eulera jest równa

gdzie oznacza liczbę komórek wymiaru W szczególności, w przypadku kompleksów symplicjalnych oznacza liczbę -wymiarowych sympleksów.

Powierzchnie

Aby obliczyć charakterystykę Eulera powierzchni (jak i innych, wyżej wymiarowych wielościanów) wystarczy znaleźć jej rozkład komórkowy. Np. dla sfery wystarczy jedna komórka 0-wymiarowa oraz jedna wymiaru 2. Przedstawienie sfery w postaci wielościanu wymaga co najmniej 4 ścian, 4 wierzchołków oraz 6 krawędzi.

Nazwa powierzchniWyglądCharakterystyka Eulera
SferaSphere-wireframe.png2
TorusTorus.png0
Wstęga Möbiusa (z brzegiem)MobiusStrip-01.png0
Butelka KleinaKleinBottle-01.png0
Płaszczyzna rzutowa rzeczywistaRomanSurfaceFrontalView.PNG1
Dwie sfery (niepołączone)2-spheres.png2 + 2 = 4
niepołączonych sfer(nie dotyczy)

Uogólnienia

  • Jeżeli jest skończonym wielościanem, to jest równa liczbie Lefschetza identyczności[6]
  • Niech będzie skończoną kategorią. Tj. taką, że liczba morfizmów (a więc i obiektów) jest skończona. Oznaczmy przez jej obiekty. Z taką kategorią możemy stowarzyszyć macierz wymiaru gdzie jest liczbą morfizmów Jeżeli istnieją takie że
to

Powyższą sumę nazywamy charakterystyką Eulera kategorii Jest ona liczbą wymierną. Jeżeli przestrzeń klasyfikująca kategorii jest skończonym wielościanem, to jego charakterystyka Eulera jest równa[7]

Aksjomatyzacja

Charakterystykę Eulera można zdefiniować również aksjomatycznie. Dokładniej, zredukowana charakterystyka Eulera (tj. charakterystyka minus 1) jest jedyną[8][9] całkowitoliczbową funkcją określoną na zbiorze klas homeomorfizmów skończonych wielościanów (z punktem bazowym) spełniającą warunki:

(1)

(2)

dla dowolnej pary wielościanów

Zobacz też

Przypisy

  1. Red. Tomasz Szemberg, Konfiguracje prostych i stożkowych, Kraków 2015, Wydawnictwo Szkolne OMEGA, ISBN 978-83-7267-632-0; s. 44, Definicja 9.1.
  2. a b Red. Tomasz Szemberg, Konfiguracje prostych i stożkowych, Kraków 2015, Wydawnictwo Szkolne OMEGA, ISBN 978-83-7267-632-0; s. 43–48.
  3. charakterystyka Eulera–Poincarégo, [w:] Encyklopedia PWN [online] [dostęp 2021-12-20].
  4. M. Friedman, A History of Folding in Mathematics: Mathematizing the Margins.
  5. D.S. Richeson, Euler’s Gem: The Polyhedron Formula and the Birth of Topology, Princeton Univ. Press (2008).
  6. a b E.H. Spanier, Topologia algebraiczna, Warszawa (1972).
  7. T. Leinster, The Euler characteristic of a category, Documenta Mathematica, 13 (2008) s. 21–49.
  8. Charakterystyka Eulera, czyli ewolucja wzoru Eulera dla wielościanów, beta-iks.pl [dostęp 2021-04-25] (pol.).
  9. Ch. Watts, On the Euler Characteristic of Polyhedra, Proc. Amer. Math. Soc. 13 (1962), 304-306.

Media użyte na tej stronie

Torus.png
A simple torus fading out to a wireframe structure. Rendered using POV-Ray
Torus cycles.png
Autor: unknown, Licencja: CC-BY-SA-3.0
2-spheres.png
Autor: Cmdrjameson, Licencja: CC0
2-spheres
MobiusStrip-01.png
Möbius strip. Made with Mathematica.