Ciąg (teoria grup)

Ciąg – jedno z kilku powiązanych pojęć teorii grup pomocne przy badaniu struktury danej grupy; zwykle przez „ciąg” rozumie się opisany dalej ciąg podnormalny. W ogólności ciągiem podgrup danej grupy nazywa się po prostu łańcuch jej podgrup; ciągi podgrup są przypadkiem szczególnym filtracji znanej z algebry abstrakcyjnej.

Definicje

Niech ${\displaystyle H\leqslant G,}$ czyli ${\displaystyle H}$ będzie podgrupą w grupie ${\displaystyle G.}$ Skończony ciąg podgrup grupy ${\displaystyle G,}$ włączając w to ${\displaystyle H}$ oraz ${\displaystyle G,}$ nazywa się ciągiem (podnormalnym) od ${\displaystyle H}$ do ${\displaystyle G}$ (lub między ${\displaystyle H}$ a ${\displaystyle G}$), jeżeli każda grupa w ciągu jest podgrupą normalną poprzedniej, tzn.

${\displaystyle H=H_{0}\trianglelefteq H_{1}\trianglelefteq \ldots \trianglelefteq H_{n-1}\trianglelefteq H_{n}=G\qquad (1)}$

Podgrupy ${\displaystyle H_{0},H_{1},\ldots ,H_{n-1},H_{n}}$ nazywa się wyrazami ciągu ${\displaystyle (1).}$ Grupy ilorazowe ${\displaystyle H_{1}/H_{0},H_{2}/H_{1},\ldots ,H_{n}/H_{n-1}}$ nazywa się ilorazami (lub faktorami) ciągu ${\displaystyle (1).}$ Ciąg od podgrupy trywialnej ${\displaystyle E}$ do podgrupy niewłaściwej ${\displaystyle G}$ nazywa się krótko ciągiem grupy ${\displaystyle G.}$ Liczbę wyrazów ciągu nazywa się jego długością.

Jeżeli każdy z wyrazów ${\displaystyle H_{0},H_{1},\ldots ,H_{n-1},H_{n}}$ ciągu ${\displaystyle (1)}$ jest normalny w ${\displaystyle G,}$ to ciąg ${\displaystyle (1)}$ również nazywa się ciągiem normalnym; zastępując normalność warunkiem charakterystyczności otrzymuje się definicję ciągu charakterystycznego.

W ciągu ${\displaystyle (1)}$ mogą istnieć powtórzenia; jeżeli jednak ${\displaystyle H_{i-1}\triangleleft H_{i}}$ dla każdego ${\displaystyle i=1,\dots ,n,}$ to ciąg ${\displaystyle (1)}$ nazywa się ciągiem właściwym. Ciąg

${\displaystyle H=\,J_{0}\trianglelefteq \,J_{1}\trianglelefteq \ldots \trianglelefteq \,J_{n-1}\trianglelefteq \,J_{n}=G\qquad (2)}$

od ${\displaystyle H}$ do ${\displaystyle G}$ nazywa się zagęszczeniem (lub rozdrobnieniem) ciągu ${\displaystyle (1),}$ jeżeli każdy wyraz ciągu ${\displaystyle (1)}$ jest również wyrazem ciągu ${\displaystyle (2).}$ Rozdrobnienie ciągu ${\displaystyle (1)}$ otrzymuje się więc z ${\displaystyle (1)}$ poprzez wstawienie dodatkowych grupy między pewne kolejne wyrazy tego ciągu, przy czym nie muszą być one różne od wyrazów ${\displaystyle (1)}$^[a]. Jeżeli jednak ${\displaystyle (2)}$ jest zagęszczeniem ${\displaystyle (1)}$ i przynajmniej jeden z wyrazów ${\displaystyle (2)}$ nie jest wyrazem ${\displaystyle (1),}$ to ${\displaystyle (2)}$ nazywa się zagęszczeniem właściwym ciągu ${\displaystyle (1).}$

Ciąg kompozycyjny

Ciąg grupy ${\displaystyle G}$ nazywa się ciągiem kompozycyjnym ${\displaystyle G,}$ jeżeli jest on ciągiem właściwym ${\displaystyle G}$ bez zagęszczenia właściwego. Ilorazy (faktory) ciągu kompozycyjnego ${\displaystyle G}$ nazywa się ilorazami (faktorami) grupy ${\displaystyle G.}$ Ciąg

${\displaystyle E=G_{0}\trianglelefteq G_{1}\trianglelefteq \ldots \trianglelefteq G_{n-1}\trianglelefteq G_{n}=G}$

grupy ${\displaystyle G}$ jest ciągiem kompozycyjnym ${\displaystyle G}$ wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie ilorazy ${\displaystyle G_{i}/G_{i-1}}$ ${\displaystyle (i=1,2,\dots ,n)}$ są proste^[b].

Równoważność

Niech ${\displaystyle G}$ będzie grupą. Dwa ciągi

${\displaystyle E=G_{0}\trianglelefteq \dots \trianglelefteq G_{n}=G}$

oraz

${\displaystyle E=H_{0}\trianglelefteq \dots \trianglelefteq H_{m}=G}$

grupy ${\displaystyle G}$ nazywa się równoważnymi, jeżeli ${\displaystyle n=m}$ oraz ilorazy ${\displaystyle G_{i}/G_{i-1}}$ są, w pewnym porządku, izomorficzne do ilorazów ${\displaystyle H_{j}/H_{j-1}}$ ${\displaystyle (i,j=1,2,\dots ,n).}$

Uwaga

W powyższej definicji nie żąda się, by ${\displaystyle G_{i}/G_{i-1}=H_{i}/H_{i-1}}$ dla wszystkich ${\displaystyle i=1,2,\dots ,n;}$ warunek mówi jedynie, że ${\displaystyle G_{i}/G_{i-1}=H_{\sigma (i)}/H_{\sigma (i)-1}}$ dla pewnej permutacji ${\displaystyle \sigma \in S_{n}.}$ Wprowadza ona ponadto relację równoważności w zbiorze wszystkich ciągów ${\displaystyle G.}$

Dowolne dwa ciągi kompozycyjne grupy są równoważne, o ile tylko grupa ma ciąg kompozycyjny, o czym mówi twierdzenie Jordana-Höldera; w istocie zachodzi dużo mocniejsze twierdzenie Schreiera zapewniające, że dowolne dwa ciągi grupy mają równoważne zagęszczenia.

Ciąg abelowy

Ciąg

${\displaystyle H=H_{0}\trianglelefteq H_{1}\trianglelefteq \ldots \trianglelefteq H_{m-1}\trianglelefteq H_{m}=G}$

od ${\displaystyle H}$ do ${\displaystyle G}$ nazywa się ciągiem abelowym, jeżeli wszystkie jego ilorazy ${\displaystyle H_{1}/H_{0},H_{2}/H_{1},\dots ,H_{m}/H_{m-1}}$ są grupami abelowymi (przemiennymi). Grupy, które mają ciąg abelowy, nazywa się rozwiązalnymi.

Ciąg centralny

Ciąg

${\displaystyle H=H_{0}\trianglelefteq H_{1}\trianglelefteq \ldots \trianglelefteq H_{m-1}\trianglelefteq H_{m}=G}$

od ${\displaystyle H}$ do ${\displaystyle G}$ nazywa się ciągiem centralnym, jeżeli wszystkie jego ilorazy ${\displaystyle H_{1}/H_{0},H_{2}/H_{1},\dots ,H_{m}/H_{m-1}}$ są podgrupami centralnymi, tzn. ${\displaystyle [G,H_{i+1}]\leqslant H_{i}}$ (dla ${\displaystyle i=1,\dots ,m;}$ gdzie ${\displaystyle [G,K]}$ oznacza komutant). Grupy, które mają ciąg centralny, nazywa się nilpotentnymi.

Ponieważ ${\displaystyle [G,H_{i}]\leqslant H_{i-1}\leqslant H_{i},}$ to w szczególności ${\displaystyle H_{i}}$ jest normalna w ${\displaystyle G;}$ dlatego równoważnie warunek centralności można zastąpić wymaganiem, by ilorazy ${\displaystyle H_{i}/H_{i-1}}$ były przemienne ze wszystkimi ilorazami ${\displaystyle G/H_{i}}$ ${\displaystyle (i=1,\dots ,m).}$

Przykłady

Literą ${\displaystyle E}$ oznaczana będzie niżej podgrupa trywialna odpowiedniej grupy.

• ${\displaystyle E\triangleleft S_{3}}$ jest ciągiem grupy symetrycznej ${\displaystyle S_{3},}$ a ${\displaystyle E\triangleleft A_{3}\triangleleft S_{3}}$ jest zagęszczeniem (zawierającym grupę alternującą ${\displaystyle A_{3}}$), które jest zarazem ciągiem kompozycyjnym ${\displaystyle S_{3},}$ ponieważ ilorazy ${\displaystyle A_{3}/E\simeq A_{3}\,(\simeq C_{3})}$ oraz ${\displaystyle S_{3}/A_{3}\simeq C_{2}}$ są proste (w pierwszym przypadku: grupa przemienna jest prosta wtedy i tylko wtedy, gdy jest cykliczna i rzędu będącego liczbą pierwszą; w drugim: z powyższej charakteryzacji). Jest to w istocie jedyny ciąg kompozycyjny tej grupy.
• ${\displaystyle E\triangleleft V_{4}\triangleleft A_{4}\triangleleft S_{4}}$ jest ciągiem normalnym grupy ${\displaystyle S_{4}.}$ Nie jest on jednak ciągiem kompozycyjnym ${\displaystyle S_{4},}$ ponieważ można go zagęścić wstawiając jedną z podgrup ${\displaystyle U_{1}=\{\iota ,(12)(34)\}}$ lub ${\displaystyle U_{2}=\{\iota ,(13)(24)\}}$ bądź ${\displaystyle U_{1}=\{\iota ,(14)(23)\}}$ między ${\displaystyle E=\{\iota \}}$ a ${\displaystyle V_{4}=\{\iota ,(12)(34),(13)(24),(14)(23)\}}$ (zob. grupa czwórkowa Kleina). Każdy z trzech ciągów ${\displaystyle E\triangleleft U_{i}\triangleleft V_{4}\triangleleft A_{4}\triangleleft S_{4}}$ jest ciągiem kompozycyjnym ${\displaystyle S_{4}}$ ${\displaystyle (i=1,2,3),}$ przy czym są to wszystkie ciągi kompozycyjne tej grupy.
• Nie każda grupa ma ciąg kompozycyjny, przykładem jest ${\displaystyle \mathbb {Z} .}$ Istotnie, dowolny ciąg ma postać

${\displaystyle 0\mathbb {Z} \triangleleft m_{1}\mathbb {Z} \triangleleft m_{2}\mathbb {Z} \triangleleft \ldots \triangleleft m_{n}\mathbb {Z} \triangleleft \mathbb {Z} \qquad (3)}$

gdzie ${\displaystyle m_{2}|m_{1},m_{3}|m_{2},\dots ,m_{n}|m_{n-1}.}$ Jeśli ${\displaystyle m_{0}}$ jest wielokrotnością ${\displaystyle m_{1}}$ oraz ${\displaystyle m_{0}\neq m_{1},}$ to

${\displaystyle 0\mathbb {Z} \triangleleft m_{0}\mathbb {Z} \triangleleft m_{1}\mathbb {Z} \triangleleft m_{2}\mathbb {Z} \triangleleft \ldots \triangleleft m_{n}\mathbb {Z} \triangleleft \mathbb {Z} }$

jest właściwym zagęszczeniem ${\displaystyle (3)}$ (symbol ${\displaystyle 0\mathbb {Z} =\left\{{\bar {0}}\right\}}$ oznacza tu podgrupę trywialną). Wówczas dowolny ciąg ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ma zagęszczenie właściwe. Dlatego żaden ciąg ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ nie może być ciągiem kompozycyjnym tej grupy.

Diagram podzielności liczby 12.

• Niech ${\displaystyle \langle a\rangle }$ będzie grupą cykliczną rzędu 12. Wtedy

${\displaystyle \langle a^{12}\rangle \triangleleft \langle a^{6}\rangle \triangleleft \langle a^{2}\rangle \triangleleft \langle a^{1}\rangle ,\quad \langle a^{12}\rangle \triangleleft \langle a^{6}\rangle \triangleleft \langle a^{3}\rangle \triangleleft \langle a^{1}\rangle ,\quad \langle a^{12}\rangle \triangleleft \langle a^{4}\rangle \triangleleft \langle a^{2}\rangle \triangleleft \langle a^{1}\rangle }$

są ciągami kompozycyjnymi ${\displaystyle \langle a^{1}\rangle =\langle a\rangle }$ (przy czym ${\displaystyle \langle a^{12}\rangle =\{a^{0}\}}$ jest podgrupą trywialną). Ilorazy kompozycyjne są izomorficzne odpowiednio z ${\displaystyle C_{2},C_{3},C_{2};\ C_{2},C_{2},C_{3};\ C_{3},C_{2},C_{2}.}$ Zatem nie biorąc pod uwagę kolejności, ilorazy kompozycyjne powstające z różnych ciągów kompozycyjnych są grupami izomorficznymi – ciągi te są zatem równoważne.

Zobacz też

• grupa rozwiązalna, grupa nilpotentna
• lemat Zassenhausa
• prawo modularności Dedekinda

Uwagi

Bibliografia

• Andrzej Białynicki-Birula: Zarys algebry. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1987.