Ciało (formalnie) rzeczywiste

Ciało (formalnie) rzeczywiste – ciało ${\displaystyle K,}$ w którym zachodzi

${\displaystyle a_{1}^{2}+\dots +a_{n}^{2}=0\Rightarrow a_{1}=\dots =a_{n}=0\quad {\text{dla}}\quad a_{i}\in K,}$

czyli, jeśli suma kwadratów elementów z ciała wynosi zero, to każdy z tych elementów musi być równy zero.

Powyższy warunek jest równoważny każdej z dwóch poniższych własności:

• ${\displaystyle -1\in K}$ nie jest sumą kwadratów w ${\displaystyle K,}$
• ciało ${\displaystyle K}$ może być liniowo uporządkowane.

Ciało, które nie jest formalnie rzeczywiste, nazywamy nierzeczywistym.

Ciało rzeczywiście domknięte to ciało ${\displaystyle K}$ spełniające którykolwiek z następujących równoważnych warunków:

1. ${\displaystyle K}$ jest ciałem formalnie rzeczywistym, które nie ma rozszerzenia algebraicznego będącego ciałem (formalnie) rzeczywistym.
2. Istnieje porządek liniowy ≤ taki, że ${\displaystyle (K,\leqslant )}$ jest ciałem uporządkowanym, w którym każdy element dodatni ma pierwiastek kwadratowy w ${\displaystyle K,}$ i każdy wielomian nieparzystego stopnia o współczynnikach z ${\displaystyle K}$ ma pierwiastek w ${\displaystyle K.}$
3. Istnieje porządek liniowy ${\displaystyle \leqslant }$ taki, że ${\displaystyle (K,\leqslant )}$ jest euklidesowym ciałem uporządkowanym i każdy wielomian nieparzystego stopnia o współczynnikach z ${\displaystyle K}$ ma pierwiastek w ${\displaystyle K.}$
4. Element ${\displaystyle -1}$ nie jest kwadratem w ${\displaystyle K,}$ a ciało ${\displaystyle K({\sqrt {-1}})}$ jest algebraicznie domknięte.

Teorię ciał formalnie rzeczywistych i ciał uporządkowanych z wykorzystaniem istnienia domknięć rzeczywistych stworzyli E. Artin i O. Schreier w latach 1926–1927, dowodząc między innymi, że:

1. Każde ciało formalnie rzeczywiste ma rozszerzenie algebraiczne, które jest rzeczywiście domknięte (nazywane jego domknięciem rzeczywistym).
2. Każde ciało uporządkowane ma rzeczywiste domknięcie, które wyznacza w nim dany jego porządek.
3. Jeśli ciało algebraicznie domknięte ${\displaystyle C}$ jest właściwym skończonym rozszerzeniem ciała ${\displaystyle K,}$ to ciało ${\displaystyle K}$ jest rzeczywiście domknięte i ${\displaystyle C=K({\sqrt {-1}}).}$

Artin wykorzystał te wyniki do rozwiązania 17. problemu Hilberta.