Ciało (matematyka)

Ciało – struktura formalizująca własności algebraiczne liczb wymiernych czy liczb rzeczywistych. W trakcie badań nad tymi obiektami rozwinął się aparat matematyczny (tzw. teoria Galois) umożliwiający rozwiązanie takich problemów jak rozwiązalność równań wielomianowych (jednej zmiennej) przez tzw. pierwiastniki (działania obowiązujące w ciałach i wyciąganie pierwiastków) czy wykonalność pewnych konstrukcji klasycznych (konstrukcji geometrycznych, w których dozwolone jest korzystanie z wyidealizowanych cyrkla i linijki). Działem matematyki zajmującym się opisem tych struktur jest teoria ciał.

Historia nazwy

Pojęcia ciała (bez nadawania mu nazwy) używał już Évariste Galois, który odkrył i sklasyfikował ciała skończone. Później podobnie postąpił Bernhard Riemann (w 1857), którego interesowały ciała funkcji meromorficznych. Richard Dedekind podał formalną definicję ciała pod nazwą dziedzina wymierności. Nazwa Körper (niem. ciało) pojawiła się podobno po raz pierwszy w Teorii liczb Dirichleta, w sensie zespół, poczet albo ucieleśnienie elementów powstających z operacji wymiernych (dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie). Problem pierwszeństwa jest skomplikowany: Dedekind był uczniem Dirichleta, napisał Suplementy do jego wykładów; w XI Suplemencie (IV wydanie, Brunszwik 1894) używana jest nazwa ciało. Angielscy matematycy używali krótko łacińskiego odpowiednika corpus, zaś francuscy matematycy używają do dziś pokrewnego corps (ozn. ciało). Używane teraz w języku angielskim słowo field (dosł. pole) wprowadzili zapewne^[1] amerykańscy algebraicy, którzy początkowo używali również nazwy realm (dosł. dziedzina, królestwo).

Definicja

Ciałem nazywa się pierścień przemienny z jedynką, w którym każdy niezerowy element jest odwracalny. Mówiąc wprost, ciało ${\displaystyle K}$ to struktura ${\displaystyle (K,+,\cdot ,0,1)}$ taka, że^[2]:

• zbiór ${\displaystyle K}$ zawiera co najmniej dwa elementy oznaczane symbolami ${\displaystyle 0}$ oraz ${\displaystyle 1,}$
• ${\displaystyle (K,+,\cdot ,0,1)}$ jest pierścieniem przemiennym z jedynką, to znaczy ${\displaystyle +}$ i ${\displaystyle \cdot }$ są działaniami w zbiorze ${\displaystyle K,}$ nazywanymi odpowiednio dodawaniem i mnożeniem spełniającymi warunki:

${\displaystyle \forall _{a,b,c\in K}\;a+(b+c)=(a+b)+c,}$

${\displaystyle \forall _{a\in K}\;a+0=a,}$

${\displaystyle \forall _{a\in K}\;\exists _{b\in K}\;a+b=0,}$

${\displaystyle \forall _{a,b\in K}\;a+b=b+a;}$

${\displaystyle \forall _{a,b,c\in K}\;a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c,}$

${\displaystyle \forall _{a\in K}\;a\cdot 1=a,}$

${\displaystyle \forall _{a,b,c\in K}\;a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c),}$

${\displaystyle \forall _{a,b\in K}\;a\cdot b=b\cdot a.}$

• każdy niezerowy element jest odwracalny, tzn.:

${\displaystyle \forall _{a\in K\setminus \{0\}}\;\exists _{b\in K}\;a\cdot b=1,}$

Element 1 nazywa się jedynką lub jednością i jest on elementem neutralnym mnożenia, 0 jest natomiast elementem neutralnym dodawania.

Aksjomat rozdzielności mnożenia względem dodawania pozwala rozróżniać działania mnożenia i dodawania – nie ma rozdzielności w „drugą stronę”. Dlatego wyrażenia postaci ${\displaystyle (a\cdot b)+c}$ można zapisać prościej jako ${\displaystyle a\cdot b+c.}$ Oznacza to, że mnożenie wiąże argumenty silniej niż dodawanie.

Ciało nieprzemienne

W literaturze rosyjskiej (тело)^[3] oraz francuskiej (corps)^[4] w definicji ciała nie wymaga się przemienności. Wtedy ciała przemienne nazywa się polami (ros. поле) lub ciałami przemiennymi (fr. corps commutatif). Pojęcie ciała jako struktury nieprzemiennej można także spotkać w niektórych tłumaczeniach książek naukowych na język polski^[5]. Można wtedy mówić na przykład o ciele kwaternionów^[6][7]. Rosjanie twierdzenie Wedderburna wypowiadają prosto: Każde ciało skończone jest polem.

Własności

Wprost z definicji wynika, że ciało nie zawiera właściwych dzielników zera.

W ciele są dokładnie dwa ideały: ideał zerowy ${\displaystyle \{0\}}$ i całe ciało ${\displaystyle K.}$ Jeżeli bowiem ideał ciała nie jest zerowy, to zawiera element odwracalny względem mnożenia, a więc jest równy ${\displaystyle K.}$

Ciała skończone i nieskończone

Ciało o skończonej bądź nieskończonej liczbie elementów nazywa się odpowiednio ciałem skończonym oraz ciałem nieskończonym. Okazuje się, że ciała skończone można łatwo sklasyfikować: każde z nich ma ${\displaystyle p^{n}}$ elementów, gdzie ${\displaystyle p}$ jest pewną liczbą pierwszą, a ${\displaystyle n}$ jest liczbą naturalną. Co więcej, ciała skończone o tej samej liczbie elementów są izomorficzne, czyli z punktu widzenia algebry mogą być uważane za jednakowe.

Podciała i rozszerzenia

Podciałem ciała ${\displaystyle K}$ nazywa się taki podzbiór ${\displaystyle L}$ ciała ${\displaystyle K,}$ który sam jest ciałem (ze względu na działania dziedziczone z ${\displaystyle K}$). Dowolny homomorfizm ciał ${\displaystyle \varphi :M\to N}$ jest zanurzeniem, gdyż

${\displaystyle 1_{N}=\varphi (1_{M})=\varphi (xx^{-1})=\varphi (x)\varphi (x^{-1})=\varphi (x)\varphi (x)^{-1},}$

a więc ${\displaystyle \varphi (x)\neq 0}$ dla każdego ${\displaystyle x\in M.}$

Dla każdego ciała ${\displaystyle K}$ zawsze istnieje homomorfizm pierścieni ${\displaystyle \phi :\mathbb {Z} \to K;}$ jeżeli ${\displaystyle \phi }$ jest zanurzeniem, to najmniejsze podciało ciała ${\displaystyle K}$ zawierające pierścień ${\displaystyle \phi (\mathbb {Z} )}$ jest izomorficzne z ${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$ a o ${\displaystyle K}$ mówi się, że jest charakterystyki zero; w przeciwnym wypadku istnieje najmniejsza liczba naturalna ${\displaystyle p}$ taka, że ${\displaystyle \phi (p)=0}$ i jest ona liczbą pierwszą; wówczas pierścień ${\displaystyle \phi (\mathbb {Z} )}$ jest izomorficzny z ciałem reszt ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ i mówi się, że ${\displaystyle K}$ ma charakterystykę równą ${\displaystyle p.}$

Jeżeli ${\displaystyle L}$ jest podciałem ciała ${\displaystyle K,}$ to ciało ${\displaystyle K}$ nazywa się wtedy rozszerzeniem ciała ${\displaystyle L}$ i tę relację między ciałami oznacza się ${\displaystyle K/L.}$ Charakterystyka ${\displaystyle K}$ jest równa charakterystyce ${\displaystyle L}$ i ${\displaystyle K}$ jest przestrzenią liniową nad ${\displaystyle L.}$ Stopniem ${\displaystyle [K:L]}$ rozszerzenia ${\displaystyle K/L}$ nazywa się wymiar tej przestrzeni liniowej. Rozszerzenie ${\displaystyle K/L}$ nazywa się rozszerzeniem skończonym, gdy jego stopień jest skończony, i rozszerzeniem nieskończonym, gdy jego stopień jest nieskończony.

Część wspólna dowolnej rodziny podciał ciała ${\displaystyle K}$ jest jego podciałem; w szczególności dla każdego podzbioru ${\displaystyle A\subset K}$ istnieje najmniejsze podciało ciała ${\displaystyle K.}$ Jeśli ${\displaystyle L}$ jest podciałem ciała ${\displaystyle K,}$ a ${\displaystyle A}$ – podzbiorem, to najmniejsze podciało ciała ${\displaystyle K}$ zawierające ${\displaystyle L}$ i ${\displaystyle A}$ oznacza się ${\displaystyle L(A).}$

Część wspólna wszystkich podciał ciała ${\displaystyle K}$ nazywana jest podciałem prostym ciała ${\displaystyle K.}$ Podciało proste jest ciałem prostym.

Przykłady

Ciałami są elementy łańcucha:

liczby wymierne ← liczby rzeczywiste ← liczby zespolone.

Strzałki opisują własność bycia podciałem (która jest przechodnia), kierunek odwrotny opisuje rozszerzenia. Wspomniane ciała nie są jedynymi przykładami, ciałem jest np. zbiór liczb p-adycznych ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}.}$ Ciało nie musi być nawet zbiorem liczbowym: funkcje wymierne o współczynnikach rzeczywistych (z dowolnego ciała) również są ciałem.

Przykładem ciała skończonego jest ciało Z_p, z kolei ciało funkcji wymiernych ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}(t)}$ jest przykładem ciała nieskończonego dodatniej charakterystyki.

Konstrukcje

• Ciało ułamków pierścienia całkowitego.
• ${\displaystyle I\subset R}$ jest ideałem maksymalnym pierścienia ${\displaystyle R,}$ wtedy i tylko wtedy, gdy pierścień ilorazowy ${\displaystyle R/I}$ jest ciałem.
• Rozszerzenie ${\displaystyle K(a)}$ ciała ${\displaystyle K}$ o pierwiastek wielomianu nierozkładalnego ${\displaystyle f(X)\in K[X]}$ to pierścień ilorazowy ${\displaystyle K[X]/(f(X)).}$
• Rozszerzenie ${\displaystyle K(t)}$ ciała ${\displaystyle K}$ o element przestępny ${\displaystyle t}$ (ciało funkcji wymiernych zmiennej ${\displaystyle t}$ nad ciałem ${\displaystyle K}$) to ciało ułamków pierścienia wielomianów ${\displaystyle K[t].}$
• Jeśli ciało ${\displaystyle K}$ jest podciałem ciała ${\displaystyle L,}$ natomiast ${\displaystyle A}$ jest podzbiorem ${\displaystyle L,}$ to istnieje najmniejsze podciało ${\displaystyle K(A)}$ ciała ${\displaystyle L}$ zawierające ${\displaystyle K}$ i ${\displaystyle A;}$ jest ono częścią wspólną wszystkich podciał ciała ${\displaystyle L}$ zawierających ${\displaystyle K}$ i ${\displaystyle L.}$ Każdy jego element jest ilorazem sum iloczynów element ciała ${\displaystyle K}$ razy iloczyn elementów zbioru ${\displaystyle A.}$
• Ultraprodukt ciał jest ciałem.

Zobacz też

• ciało algebraicznie domknięte
• ciało skończone
• pierścień z dzieleniem

Przypisy

Bibliografia

• J. Browkin, Teoria ciał, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1977.
• L. Pontriagin: Grupy topologiczne. Warszawa: PWN, 1961.
• E. Artin: Geometric Algebra. London: Interscience Publishers LCD., 1957.
• M. Berger: Géométrie. Paris: Nathan, 1977.
• А.И. Кострикин: Введение в алгебру. Основы алгебры. Москва: Наука, 1994.