Ciało słabo uporządkowane

Ciało słabo uporządkowane – ciało ${\displaystyle K}$^[1] o co najmniej trzech elementach, w którym określona jest binarna relacja porządkująca liniowo ${\displaystyle a<b}$ spełniająca następujące aksjomaty:

1. Dla dowolnego ustalonego elementu ${\displaystyle a\in K}$ odwzorowanie ${\displaystyle x\mapsto x+a}$ albo zachowuje, albo odwraca porządek w ciele ${\displaystyle K}$^[2].
2. Dla dowolnego ustalonego ${\displaystyle a\in K^{*}}$^[3] odwzorowanie ${\displaystyle x\mapsto xa}$ albo zachowuje, albo odwraca porządek w ciele ${\displaystyle K}$^[4][5].

Mówimy, że w ciele słabo uporządkowanym elementy ${\displaystyle a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}}$ tworzą łańcuch, jeśli ${\displaystyle a_{1}<a_{2}<\dots <a_{n}}$ lub ${\displaystyle a_{n}<\dots <a_{2}<a_{1}.}$ Aksjomaty oznaczają, że oba przekształcenia odwzorowują łańcuch na łańcuch. Założenie, że ciało ma więcej niż dwa elementy oznacza, że są w nim co najmniej dwa łańcuchy.

Własności

• ${\displaystyle K}$ nie może być ciałem charakterystyki 2.

Dowód. Jeśli ${\displaystyle 0,a,b}$ są trzema różnymi elementami ciała słabo uporządkowanego ${\displaystyle K}$ o charakterystyce 2. Do rozważenia są dwa przypadki:

i) Jeżeli tworzą one łańcuch ${\displaystyle 0,a,b,}$ to jeśli do każdego elementu łańcucha doda się ${\displaystyle a,}$ to otrzyma się łańcuch ${\displaystyle a,0,a+b,}$ a jeśli element ${\displaystyle b,}$ to otrzyma się łańcuch ${\displaystyle b,a+b,0,}$ co daje łańcuch ${\displaystyle a,0,a+b,b,}$ który jest sprzeczny z łańcuchem wyjściowym.

ii) Jeżeli tworzą one łańcuch ${\displaystyle a,0,b,}$ to jeśli do każdego elementu łańcucha doda się ${\displaystyle a,}$ to otrzyma się łańcuch ${\displaystyle 0,a,a+b,}$ a jeśli element ${\displaystyle b,}$ to otrzyma się łańcuch ${\displaystyle a+b,b,0.}$ Zatem elementy tworzą albo łańcuch ${\displaystyle 0,a,b,a+b,}$ albo łańcuch ${\displaystyle 0,b,a,a+b.}$

W obu przypadkach otrzymujemy sprzeczność z łańcuchem wyjściowym. Zatem ciało ${\displaystyle K}$ nie może mieć charakterystyki 2.

• Ciało słabo uporządkowane jest ciałem uporządkowanym.

Związek z geometrią uporządkowania

Ciała słabo uporządkowane są kanonicznie związane z możliwymi geometriami uporządkowania na płaszczyźnie:

• Geometria uporządkowania na płaszczyźnie kanonicznie indukuje słabo uporządkowane ciało ${\displaystyle K,}$ a słabo uporządkowane ciało ${\displaystyle K}$ indukuje kanonicznie uporządkowanie na płaszczyźnie^[6].

Zobacz też

• ciało uporządkowane
• geometria uporządkowania

Przypisy

Bibliografia

• Эмиль Артин: Геометрическая алгебра. Москва: Наука, 1969. (ros.).