Ciało słabo uporządkowane

Ciało słabo uporządkowaneciało [1] o co najmniej trzech elementach, w którym określona jest binarna relacja porządkująca liniowo spełniająca następujące aksjomaty:

  1. Dla dowolnego ustalonego elementu odwzorowanie albo zachowuje, albo odwraca porządek w ciele [2].
  2. Dla dowolnego ustalonego [3] odwzorowanie albo zachowuje, albo odwraca porządek w ciele [4][5].

Mówimy, że w ciele słabo uporządkowanym elementy tworzą łańcuch, jeśli lub Aksjomaty oznaczają, że oba przekształcenia odwzorowują łańcuch na łańcuch. Założenie, że ciało ma więcej niż dwa elementy oznacza, że są w nim co najmniej dwa łańcuchy.

Własności

  • nie może być ciałem charakterystyki 2.
Dowód. Jeśli są trzema różnymi elementami ciała słabo uporządkowanego o charakterystyce 2. Do rozważenia są dwa przypadki:
i) Jeżeli tworzą one łańcuch to jeśli do każdego elementu łańcucha doda się to otrzyma się łańcuch a jeśli element to otrzyma się łańcuch co daje łańcuch który jest sprzeczny z łańcuchem wyjściowym.
ii) Jeżeli tworzą one łańcuch to jeśli do każdego elementu łańcucha doda się to otrzyma się łańcuch a jeśli element to otrzyma się łańcuch Zatem elementy tworzą albo łańcuch albo łańcuch
W obu przypadkach otrzymujemy sprzeczność z łańcuchem wyjściowym. Zatem ciało nie może mieć charakterystyki 2.

Związek z geometrią uporządkowania

Ciała słabo uporządkowane są kanonicznie związane z możliwymi geometriami uporządkowania na płaszczyźnie:

  • Geometria uporządkowania na płaszczyźnie kanonicznie indukuje słabo uporządkowane ciało a słabo uporządkowane ciało indukuje kanonicznie uporządkowanie na płaszczyźnie[6].

Zobacz też

Przypisy

  1. Artin nie zakładał przemienności mnożenia w ciele.
  2. Niektóre elementy mogą zachowywać porządek, a inne mogą je odwracać.
  3. Zbiór jest multiplikatywną grupą elementów niezerowych ciała
  4. Nie jest natomiast nakładane żadne ograniczenie na odwzorowanie
  5. Эмиль Артин: Геометрическая алгебра. Москва: Наука, 1969, s. 63–64. (ros.).
  6. Artin, op. cit., s. 106–110.

Bibliografia

  • Эмиль Артин: Геометрическая алгебра. Москва: Наука, 1969. (ros.).