Continuum (teoria mnogości)
Continuum – moc zbioru liczb rzeczywistych, oznaczana zwykle symbolem [1].
Historia
W roku 1874 Georg Cantor udowodnił, że nie istnieje funkcja zbioru liczb naturalnych na zbiór liczb rzeczywistych[2], co oznacza, że zbiór liczb rzeczywistych jest liczniejszy niż zbiór liczb naturalnych; w związku z tym nie jest on przeliczalny. Popularnym sposobem dowodzenia tego faktu jest pochodząca również od Cantora[3] metoda przekątniowa.
Continuum dotyczy także twierdzenie mówiące, że zbiór liczb rzeczywistych jest równoliczny ze zbiorem wszystkich podzbiorów zbioru liczb naturalnych tzn.
Przykłady
- dowolny niezdegenerowany, również niewłaściwy, przedział liczb rzeczywistych (ogólniej, każdy niepusty otwarty podzbiór przestrzeni ),
- zbiory liczb niewymiernych, przestępnych, zespolonych,
- iloczyn kartezjański dwóch zbiorów mocy continuum,
- rodzina zbiorów borelowskich na prostej (ogólniej, rodzina zbiorów borelowskich w dowolnej przestrzeni spełniającej drugi aksjomat przeliczalności),
- zbiór Cantora, zbiór wszystkich (nieskończonych) ciągów dwuwartościowych.
Hipoteza continuum
Hipoteza continuum, czyli pytanie o to, czy jest najmniejszą nieprzeliczalną liczbą kardynalną, stało się katalizatorem rozwoju teorii mnogości w początkach XX wieku. Sam problem został rozwiązany częściowo w 1939 roku przez Kurta Gödla[4] i ostatecznie w 1964 przez Paula Cohena[5][6].
Jedną z konsekwencji aksjomatu wyboru jest fakt mówiący o tym, że zbioru liczb rzeczywistych nie można przedstawić w postaci sumy przeliczalnie wielu zbiorów mocy mniejszej niż – innymi słowy, kofinalność jest nieprzeliczalna. Nieprzeliczalna kofinalność liczby kardynalnej jest więc warunkiem koniecznym na to, by „mogła być równa” continuum. Robert M. Solovay udowodnił w istocie, że jest to również warunek wystarczający – dokładniej, pokazał on, że jeżeli teoria mnogości ZFC jest niesprzeczna, to dla pewnego przeliczalnego modelu ZFC, w którym jest liczbą kardynalną o nieprzeliczalnej kofinalności, istnieje rozszerzenie generyczne w którym liczby kardynalne z modelu wyjściowego się nie kolapsują oraz Solovay wyszedł od przeliczalnego modelu ZFC + GCH do którego dodał liczb losowych ( jest liczbą kardynalną o nieprzeliczalnej kofinalności)[7].
Przypisy
- ↑ continuum, [w:] Encyklopedia PWN [online] [dostęp 2021-10-02].
- ↑ Georg Cantor. Über eine Eigenschaft des Ingebriffes aller reelen algebraischen Zahlen. „Journal für die Reine und Angewandte Mathematik”. 77, s. 258–262, 1874.
- ↑ Georg Cantor. Über eine elementare Frage der Mannigfaltigkeitslehre. „Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung”. 1, s. 75–78, 1891.
- ↑ K. Gödel: Consistency-proof for the generalized continuum-hypothesis. „Proc. nat. Acad. Sci. USA” 25 (1939), s. 220–224.
- ↑ P. Cohen: The independence of the continuum hypothesis. „Proc. nat. Acad. Sci. USA.” 50 (1963), s. 1143–1148.
- ↑ P. Cohen: The independence of the continuum hypothesis. II. „Proc. nat. Acad. Sci. USA.” 51 (1964), s. 105–110.
- ↑ R.M. Solovay: 2ℵ0 can be anything it ought to be, The Theory of Models (J. W. Addison, L. Henkin, and A. Tarski, eds.), North-Holland, 1964, s. 435.