Cykl (teoria grafów)

Ten artykuł należy dopracować: od 2009-12 → dodać przypisy do treści niemających odnośników do źródeł, → napisać/poprawić definicję. Dokładniejsze informacje o tym, co należy poprawić, być może znajdują się w dyskusji tego artykułu. Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {{Dopracować}} z tego artykułu.

Przykładowy graf cykliczny

Niniejszy artykuł jest częścią cyklu teoria grafów.

Najważniejsze pojęcia graf drzewo podgraf cykl klika stopień wierzchołka stopień grafu dopełnienie grafu obwód grafu pokrycie wierzchołkowe liczba chromatyczna indeks chromatyczny izomorfizm grafów homeomorfizm grafów więcej... Wybrane klasy grafów graf pełny graf spójny drzewo graf dwudzielny graf regularny graf eulerowski graf hamiltonowski graf planarny więcej... Algorytmy grafowe A* Bellmana-Forda Dijkstry Fleury'ego Floyda-Warshalla Johnsona Kruskala Prima przeszukiwanie grafu – wszerz – w głąb najbliższego sąsiada Zagadnienia przedstawiane jako problemy grafowe problem komiwojażera problem chińskiego listonosza problem marszrutyzacji problem kojarzenia małżeństw Inne zagadnienia kod Graya diagram Hassego kod Prüfera

Cykl grafu – ścieżka zamknięta z takim samym ostatnim i pierwszym wierzchołkiem^[1]. Dodatkowo ścieżka ta może posiadać wielokrotnie ten sam wierzchołek, również z rzędu – w przypadku tzw. pętli.

Rodzaje cykli

Cykl prosty to droga zamknięta, czyli taka, której koniec (ostatni wierzchołek) jest identyczny z początkiem (pierwszym wierzchołkiem)^[2]. Cykl prosty jest szczególnym (prostszym) przypadkiem cyklu.

Cykl Hamiltona – cykl prosty przebiegający przez wszystkie wierzchołki grafu i przechodzący przez nie dokładnie 1 raz (oprócz pierwszego wierzchołka).

Cykl Eulera – cykl zawierający wszystkie krawędzie grafu i przechodzący przez nie dokładnie 1 raz.

Cykl własny – w multigrafie cykl złożony z jednej krawędzi, która zaczyna się i kończy w tym samym wierzchołku (zwany też pętlą własną wierzchołka).

Twierdzenie

Jeżeli najmniejszy stopień wierzchołka w grafie ${\displaystyle G}$ jest nie mniejszy niż ${\displaystyle 2,}$ to graf ${\displaystyle G}$ zawiera cykl.

Dowód twierdzenia

Oznaczmy najmniejszy stopień wierzchołka w grafie ${\displaystyle G}$ przez ${\displaystyle \delta .}$ Na podstawie lematu o uściskach dłoni wiemy, że:

${\displaystyle 2m=\deg(v_{1})+\dots +\deg(v_{n}).}$

Ponieważ każdy wierzchołek grafu ${\displaystyle G}$ (z założenia) jest stopnia co najmniej ${\displaystyle 2,}$ możemy zapisać, że:

${\displaystyle \deg(v_{1})+\dots +\deg(v_{n})\geqslant n\delta \geqslant 2n.}$

Po przekształceniu otrzymujemy:

${\displaystyle 2m\geqslant 2n\Longrightarrow m\geqslant n.}$

Jak widać, liczba krawędzi w grafie ${\displaystyle (m)}$ jest większa lub równa od liczby wierzchołków ${\displaystyle (n).}$ Łatwo zauważyć, że wobec tego w grafie ${\displaystyle G}$ występuje przynajmniej jeden cykl, co kończy dowód.

Wyjaśnienie: stworzenie ścieżki (lub drzewa) o ${\displaystyle n}$ wierzchołkach (niezawierającej cykli) pozwala „zużyć” do połączenia co najwyżej ${\displaystyle n-1}$ krawędzi. Ostatnia, ${\displaystyle n}$-ta krawędź, jaką musimy „dołożyć” do grafu zgodnie z założeniami, utworzy cykl.

Przypisy