Cykloida

Zakreślanie cykloidy

Cykloida – krzywa, jaką zakreśla punkt leżący na obwodzie koła, które toczy się bez poślizgu po prostej^[1]. Cykloidę można narysować za pomocą cykloidografu^[2].

Równania

Cykloida opisana jest równaniami parametrycznymi postaci^[3]:

${\displaystyle x=r{\begin{pmatrix}t-\sin t\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle y=r{\begin{pmatrix}1-\cos t\end{pmatrix}},}$

gdzie:

${\displaystyle t\in \mathbb {R} ,\ r>0.}$

Rozwiązując równania ogólne dla ${\displaystyle t,}$ otrzymuje się:

${\displaystyle x=2\pi rk\pm \left(r\,\arccos \left(1-{\frac {y}{r}}\right)-{\sqrt {y(2r-y)}}\right),}$

gdzie:

${\displaystyle k\in \mathbb {Z} ,\ r>0,\ 0\leqslant y\leqslant 2r.}$

Własności

Cykloida jest też związana z zagadnieniem:

• krzywej najkrótszego spadku (brachistochrony) będącej fragmentem łuku cykloidy,
• krzywej będącej odwróconą cykloidą (tautochroną), po której masa punktowa stacza się do najniższego punktu krzywej w takim samym czasie, niezależnie od punktu startowego na tej krzywej.

Uogólnienie pojęcia cykloidy

Równania ogólne postaci^[4][5]:

${\displaystyle x=rt-c\cdot \sin t}$

${\displaystyle y=r-c\cdot \cos t,}$

gdzie:

${\displaystyle t\in \mathbb {R} ,\ r>0,\ c>0.}$

Zależność odległości ${\displaystyle c}$ punktu zakreślającego krzywą od środka toczącego się koła i promienia ${\displaystyle r}$ tego koła jest następująca:

• dla ${\displaystyle c<r}$ cykloidę skróconą, zakreślaną przez ustalony punkt leżący wewnątrz toczącego się koła^[4] (linia czerwona na poniższym rysunku),
• dla ${\displaystyle c>r}$ cykloidę wydłużoną zakreślaną przez ustalony punkt leżący na zewnątrz koła^[5] (linia niebieska).
• dla ${\displaystyle c=r}$ zwykłą cykloidę zakreślaną przez punkt na brzegu koła (linia zielona).

Zobacz też

• epicykloida
• hipocykloida
• traktrysa

Przypisy