Czworościan

Czworościan foremny

Siatka czworościanu foremnego

Dwie możliwe siatki czworościanu foremnego

Niektóre z zamieszczonych tu informacji wymagają weryfikacji. Dokładniejsze informacje o tym, co należy poprawić, być może znajdują się w dyskusji tego artykułu. Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {{Dopracować}} z tego artykułu.

Czworościan – ostrosłup trójkątny, czyli wielościan o czterech trójkątnych ścianach^[1]. Każdy czworościan posiada 6 krawędzi i 4 wierzchołki^[a]. Czworościan jest trójwymiarowym sympleksem.

Jeśli wszystkie ściany czworościanu są trójkątami równobocznymi, czworościan nazywany jest czworościanem foremnym. Trzeba odróżniać czworościan foremny od ostrosłupa trójkątnego foremnego (czyli prawidłowego): dla tego drugiego tylko jedna ściana koniecznie musi być trójkątem równobocznym, pozostałe zaś są trójkątami równoramiennymi (zob. Ostrosłup prawidłowy). Czworościan foremny jest szczególnym przypadkiem ostrosłupa trójkątnego foremnego.

Wzory

Animacja obrotu czworościanu foremnego w przestrzeni 3D

Animacja obrotu czworościanu foremnego

Objętość czworościanu (niekoniecznie foremnego) o wierzchołkach ${\displaystyle A_{1},\ A_{2},\ A_{3},\ A_{4}}$ dana jest wzorem:

${\displaystyle V={\sqrt {\frac {\Delta }{288}}},}$

gdzie zmienna pomocnicza ${\displaystyle \Delta }$ to wyznacznik

${\displaystyle \Delta ={\begin{vmatrix}0&a_{12}^{2}&a_{13}^{2}&a_{14}^{2}&1\\a_{12}^{2}&0&a_{23}^{2}&a_{24}^{2}&1\\a_{13}^{2}&a_{23}^{2}&0&a_{34}^{2}&1\\a_{14}^{2}&a_{24}^{2}&a_{34}^{2}&0&1\\1&1&1&1&0\end{vmatrix}},}$

${\displaystyle a_{ij}}$ to długość krawędzi łączącej wierzchołek ${\displaystyle A_{i}}$ z wierzchołkiem ${\displaystyle A_{j}.}$

Promień kuli opisanej na czworościanie:

${\displaystyle R={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\Gamma }{\Delta }}},}$

gdzie zmienna pomocnicza ${\displaystyle \Gamma }$ to

${\displaystyle \Gamma ={\begin{vmatrix}0&a_{12}^{2}&a_{13}^{2}&a_{14}^{2}\\a_{12}^{2}&0&a_{23}^{2}&a_{24}^{2}\\a_{13}^{2}&a_{23}^{2}&0&a_{34}^{2}\\a_{14}^{2}&a_{24}^{2}&a_{34}^{2}&0\end{vmatrix}}.}$

Promień kuli wpisanej można wyznaczyć za pomocą wzoru:

${\displaystyle r={\frac {3V}{S_{A_{1}}+S_{A_{2}}+S_{A_{3}}+S_{A_{4}}}},}$

gdzie ${\displaystyle S_{A_{i}}}$ to pole ściany niezawierającej wierzchołka ${\displaystyle A_{i}.}$

Kąt trójścienny oraz długości wychodzących z niego krawędzi wyznaczają jednoznacznie czworościan. Jeśli ${\displaystyle A_{1}}$ i ${\displaystyle A_{2},}$ ${\displaystyle B_{1}}$ i ${\displaystyle B_{2}}$ oraz ${\displaystyle C_{1}}$ i ${\displaystyle C_{2}}$ są punktami leżącymi parami na prostych zawierających ramiona kąta trójściennego o wierzchołku S, to objętości czworościanów ${\displaystyle SA_{1}B_{1}C_{1}}$ i ${\displaystyle SA_{2}B_{2}C_{2}}$ spełniają zależność^[2]:

${\displaystyle {\frac {V_{1}}{V_{2}}}={\frac {SA_{1}}{SA_{2}}}{\frac {SB_{1}}{SB_{2}}}{\frac {SC_{1}}{SC_{2}}}.}$

Dowód tego faktu można przeprowadzić bez zmniejszenia ogólności zakładając, że jedna z par punktów leży na tej samej półprostej (ewentualna symetria środkowa względem S jednego z czworościanów), a nawet że jeden punkt jest wspólny (jednokładność jednego z czworościanów zmienia objętość jak sześcian skali). Wówczas czworościany mają wspólną wysokość i stosunek pól podstaw wynikający ze wzoru: ${\displaystyle S=ab\sin \alpha .}$

Uwagi

Przypisy

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Tetrahedron, [w:] MathWorld [online], Wolfram Research [dostęp 2020-12-12]  (ang.).