Czworościan

Czworościan foremny
Siatka czworościanu foremnego
Dwie możliwe siatki czworościanu foremnego

Czworościanostrosłup trójkątny, czyli wielościan o czterech trójkątnych ścianach[1]. Każdy czworościan posiada 6 krawędzi i 4 wierzchołki[a]. Czworościan jest trójwymiarowym sympleksem.

Jeśli wszystkie ściany czworościanu są trójkątami równobocznymi, czworościan nazywany jest czworościanem foremnym. Trzeba odróżniać czworościan foremny od ostrosłupa trójkątnego foremnego (czyli prawidłowego): dla tego drugiego tylko jedna ściana koniecznie musi być trójkątem równobocznym, pozostałe zaś są trójkątami równoramiennymi (zob. Ostrosłup prawidłowy). Czworościan foremny jest szczególnym przypadkiem ostrosłupa trójkątnego foremnego.

Wzory

Animacja obrotu czworościanu foremnego w przestrzeni 3D
Animacja obrotu czworościanu foremnego

Objętość czworościanu (niekoniecznie foremnego) o wierzchołkach dana jest wzorem:

gdzie zmienna pomocnicza to wyznacznik

to długość krawędzi łączącej wierzchołek z wierzchołkiem

Promień kuli opisanej na czworościanie:

gdzie zmienna pomocnicza to

Promień kuli wpisanej można wyznaczyć za pomocą wzoru:

gdzie to pole ściany niezawierającej wierzchołka

Kąt trójścienny oraz długości wychodzących z niego krawędzi wyznaczają jednoznacznie czworościan. Jeśli i i oraz i są punktami leżącymi parami na prostych zawierających ramiona kąta trójściennego o wierzchołku S, to objętości czworościanów i spełniają zależność[2]:

Dowód tego faktu można przeprowadzić bez zmniejszenia ogólności zakładając, że jedna z par punktów leży na tej samej półprostej (ewentualna symetria środkowa względem S jednego z czworościanów), a nawet że jeden punkt jest wspólny (jednokładność jednego z czworościanów zmienia objętość jak sześcian skali). Wówczas czworościany mają wspólną wysokość i stosunek pól podstaw wynikający ze wzoru:

Uwagi

  1. Jest to zgodne z twierdzeniem Eulera o wielościanach: χ = WK + S = 4 – 6 + 4 = 2.

Przypisy

  1. czworościan, [w:] Encyklopedia PWN [online] [dostęp 2021-10-02].
  2. Henryk Pawłowski: Zadania z olimpiad matematycznych z całego świata. Trygonometria i geometria. Toruń: Oficyna Wydawnicza „Tutor”, 2003, s. 250–251. ISBN 83-86007-63-X.

Linki zewnętrzne

  • Eric W. Weisstein, Tetrahedron, [w:] MathWorld [online], Wolfram Research [dostęp 2020-12-12] (ang.).

Media użyte na tej stronie

Siatki czworoscianu.svg
net for Tetrahedron
Tetrahedron flat.svg
Autor: Júlio Reis, Licencja: CC BY-SA 3.0
siatka czworościanu foremnego
Platonic Solids Stereo 1 - Tetrahedron.gif
Autor: JovanCormac, Licencja: CC BY-SA 3.0
Illustration of the tetrahedron, using four different methods to highlight its structure:
  • Rotation
  • Folding/unfolding
  • Translucency
  • Most importantly: Stereo vision, recommended viewing distance 50–70 cm at full resolution
Designed & rendered with Wolfram Mathematica 7, assembled & optimized with Ulead GIF Animator 5.
120px-Tetrahedron-slowturn.gif
Autor: Variated by -- Peter Steinberg, Licencja: CC-BY-SA-3.0
Tetrahedron, transparent, slowly turning
Tetrahedron.svg
Autor:
Oryginał:
Vector:
, Licencja: CC-BY-SA-3.0
Tetrahedron.