Długość zredukowana

Długość zredukowana – parametr wahadła fizycznego.

Jest to taka długość wahadła matematycznego, które wykonuje drgania o takim samym okresie jak dane wahadło fizyczne^[1].

Okres drgań wahadła fizycznego i odpowiadający mu okres drgań wahadła matematycznego jest równy:

${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {I}{mgl_{r}}}},}$

${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {l}{g}}}.}$

Z tych zależności można zapisać:

${\displaystyle l_{r}={\frac {I}{ml}},}$

gdzie:

${\displaystyle I}$ – moment bezwładności wahadła względem osi obrotu [kg·m²],

${\displaystyle m}$ – masa wahadła [kg],

${\displaystyle l}$ – odległość od osi obrotu do środka ciężkości [m].

Znajomość długości zredukowanej wahadła fizycznego pozwala na obliczenie jego okresu ze wzoru na okres wahadła matematycznego

${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {l_{r}}{g}}},}$

gdzie:

${\displaystyle g}$ – przyspieszenie ziemskie [m/s²].

Aby wyznaczyć długość zredukowaną, wykorzystuje się właściwość wahadła fizycznego polegającą na tym, że jeśli wahadło zawieszone jest na osi przechodzącej przez punkt A, a następnie przez punkt B posiada ten sam okres, wówczas odległość między tymi punktami jest długością zredukowaną tego wahadła. Właściwość ta wykorzystywana jest w wahadle rewersyjnym.

Okres drgań wahadła fizycznego w zależności od odległości środka masy od punktu zawieszenia. K = I_c/m

Moment bezwładności wahadła względem osi obrotu zależy od odległości od środka masy wg twierdzenia Steinera, co prowadzi do zależności długości zredukowanej od odległości między zawieszeniem a środkiem masy:

${\displaystyle I=I_{c}+ml^{2},}$

${\displaystyle l_{r}={\frac {I_{c}+ml^{2}}{ml}}={\frac {I_{c}}{m}}{\frac {1}{l}}+l.}$

Z wyrażenia tego wynika, że długość zredukowana wahadła, a tym samym okres wahań dla danej bryły zależy tylko odległości między środkiem masy i punktem zawieszenia wahadła.

Długość zredukowana wahadła fizycznego osiąga minimum dla:

${\displaystyle l_{rm}={\sqrt {\frac {I_{c}}{m}}}.}$

Minimalna długość zredukowana wahadła jest równa promieniowi bezwładności względem środka masy bryły.

Dlatego minimalny okres wahań bryły wynosi:

${\displaystyle T_{m}=2\pi {\sqrt {{\sqrt {\frac {I_{c}}{m}}}{\frac {1}{g}}}}=2\pi {\sqrt[{4}]{\frac {I_{c}}{mg^{2}}}}.}$

Przypisy