Defekt trójkąta

Defekt trójkąta – różnica między kątem półpełnym a sumą kątów trójkąta^[1]. Dla trójkąta ${\displaystyle \Delta }$ sumę jego kątów oznaczamy przez ${\displaystyle S(\Delta ),}$ a defekt przez ${\displaystyle D(\Delta ).}$ Wtedy

${\displaystyle D(\Delta )=\pi -S(\Delta ).}$

W geometrii absolutnej defekt trójkąta jest nie mniejszy od zera. Udowodnił to Adrien Legendre w 1794 roku. Wykazał on, że:

1. Jeśli suma kątów każdego trójkąta jest równa kątowi półpełnemu, to ma miejsce aksjomat Euklidesa.
2. W każdym trójkącie ${\displaystyle S(\Delta )\leqslant \pi .}$
3. Jeśli suma kątów choć jednego trójkąta jest równa kątowi półpełnemu, to suma kątów każdego trójkąta jest równa kątowi półpełnemu. Oznacza to, że ma wtedy miejsce aksjomat Euklidesa, a defekt każdego trójkąta jest wtedy równy zero.

Z powyższych faktów wynika, że albo defekt każdego trójkąta jest równy zero i geometria jest geometrią euklidesową, albo defekt choć jednego trójkąta jest większy od zera i wtedy defekt każdego trójkąta jest większy od zera, a geometria jest geometrią hiperboliczną.

Własności defektu

• Jeżeli trójkąt ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{1}}$ jest zawarty w trójkącie ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{2},}$ to ${\displaystyle \Delta ({\mathcal {T}}_{1})<\Delta ({\mathcal {T}}_{2}).}$
• Pojęcie defektu można rozszerzyć na dowolne wielokąty. Defekt wielokąta jest wtedy sumą defektów trójkątów dowolnej jego triangulacji. Można wykazać, że defekt wielokąta nie zależy od jego triangulacji. Jeżeli wielokąt ${\displaystyle {\mathcal {W}}_{1}}$ jest zawarty w wielokącie ${\displaystyle {\mathcal {W}}_{2},}$ to ${\displaystyle \Delta ({\mathcal {W}}_{1})<\Delta ({\mathcal {W}}_{2}).}$

Twierdzenie Gaussa

Carl Friedrich Gauss udowodnił w 1832 roku, że:

W geometrii hiperbolicznej pole trójkąta jest proporcjonalne do jego defektu^[2].

Schemat dowodu twierdzenia Gaussa

Schemat został zamieszczony w książce H.S.M. Coxetera^[3].

1. Wszystkie trójkąty potrójnie asymptotyczne są przystające^[4].

2. Pole trójkąta potrójnie asymptotycznego ma wartość skończoną ${\displaystyle t.}$

3. Pole podwójnie asymptotycznego trójkąta AMN jest funkcją jego jedynego kąta niezerowego NAM. Jeśli ${\displaystyle \varphi }$ jest kątem przyległym do kąta NAM, to pole tego trójkąta jest równe ${\displaystyle f(\varphi ).}$ Gauss użył kąta przyległego, aby funkcja ta była rosnąca.

4. ${\displaystyle f(\varphi )+f(\pi -\varphi )=t.}$

Po zsunięciu dwóch trójkątów podwójnie asymptotycznych LAN i MAN o kątach ${\displaystyle \varphi }$ i ${\displaystyle \pi -\varphi ,}$ tak aby oba te kąty były przyległe otrzymujemy trójkąt potrójnie asymptotyczny. Stąd równość 4.

Gdy ${\displaystyle \varphi }$ dąży do zera jeden z tych trójkątów zanika, a gdy dąży do ${\displaystyle \pi ,}$ przyjmuje kształt trójkąta potrójnie asymptotycznego. Dlatego

${\displaystyle f(0)=0,f(\pi )=t.}$

5. ${\displaystyle f(\varphi )+f(\psi )+f(\pi -\varphi -\psi )=t.}$

Jeśli ${\displaystyle \varphi \geqslant 0,\psi \geqslant 0,\pi \geqslant \varphi +\psi ,}$ to po zsunięciu trzech trójkątów podwójnie asymptotycznych o kątach ${\displaystyle \pi -\varphi ,\pi -\psi ,\varphi +\psi }$ otrzymujemy trójkąt potrójnie asymptotyczny. Stąd równość 5.

Z równości 5. wynika

6. ${\displaystyle f(\varphi )+f(\psi )=f(\varphi +\psi ).}$

Z 6. wynika, że istnieje taka stała ${\displaystyle \mu ,}$ że:

${\displaystyle f(\varphi )=\mu \cdot \varphi ,}$

gdzie stała ${\displaystyle \mu }$ jest równa ${\displaystyle {\frac {t}{\pi }}.}$

Uzupełnienie skończonego trójkąta ABC do trójkąta potrójnie asymptotycznego

7. Pole ${\displaystyle \Delta }$ dowolnego trójkąta ABC o skończonych bokach jest stałą wielokrotnością jego defektu:

${\displaystyle \Delta =\mu \cdot (\pi -A-B-C).}$

Trójkąt o skończonych bokach można uzupełnić do trójkąta potrójnie asymptotycznego, przedłużając jego boki w porządku cyklicznym. Trójkąt potrójnie asymptotyczny jest wtedy sumą trójkąta skończonego ABC i trzech trójkątów podwójnie asymptotycznych:

${\displaystyle M_{\infty }AN_{\infty },\,N_{\infty }BL_{\infty },\,L_{\infty }CM_{\infty }}$

o defektach odpowiednio równych kątom ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle B}$ i ${\displaystyle C.}$ Trójkąt potrójnie asymptotyczny ma defekt ${\displaystyle \pi ,}$ czyli

${\displaystyle \Delta +\mu A+\mu B+\mu C=\mu \pi ,}$

co oznacza, że

${\displaystyle \Delta =\mu \cdot (\pi -A-B-C).}$

Zobacz też

• czworokąt Saccheriego
• kąt równoległości
• model Poincarégo
• prosta pochyła
• prosta zagradzająca kąt
• proste nadrównoległe
• punkt w nieskończoności w geometrii hiperbolicznej
• równoległość w geometrii hiperbolicznej
• trójkąt asymptotyczny
• trójkąt podwójnie asymptotyczny
• trójkąt potrójnie asymptotyczny

Przypisy

Bibliografia

• H.S.M. Coxeter: Wstęp do geometrii dawnej i nowej. Warszawa: PWN, 1967.
• Н.В. Ефимов: Высшая Геометрия. Москва: Наука, 1978.