Diagram Schlegela

Diagramy Schlegela wielościanów

Diagram Schlegela wielościanu wypukłego – obraz brzegu wielościanu w rzucie środkowym o środku S na płaszczyznę ${\displaystyle \pi ,}$ gdzie^[1][2]:

1. Płaszczyzna ${\displaystyle \pi }$ jest równoległa do jednej ze ścian ${\displaystyle {\mathfrak {s}}}$ wielościanu i leży po tej samej stronie płaszczyzny ${\displaystyle \pi _{\mathfrak {s}}}$ zawierającej ścianę ${\displaystyle {\mathfrak {s}}}$
2. Środek rzutowania S znajduje się w takiej odległości od ściany ${\displaystyle {\mathfrak {s}},}$ że rzuty wszystkich ścian wielościanu są zawarte w rzucie ${\displaystyle {\mathfrak {s}}.}$

W przypadku wielościanu foremnego punkt rzutowania umieszcza się zwykle nad środkiem ściany, odpowiednio blisko jej.

Podstawowa własność diagramu Schlegela. Rzuty wszystkich ścian wielościanu poza ${\displaystyle {\mathfrak {s}}}$ wypełniają rzut ściany ${\displaystyle {\mathfrak {s}},}$ a rzuty poszczególnych ścian mają wspólny wierzchołek lub wspólny bok wtedy i tylko wtedy, gdy same ściany wielościanu mają tę własność.

Korzystając z powyższej własności, można opisać diagram Schlegela wielościanu w sposób następujący: Jest to zbiór wielokątów wypukłych ${\displaystyle {\mathfrak {w}}_{1},\dots ,{\mathfrak {w}}_{n}}$ odpowiadających (wszystkim) ścianom wielościanu ${\displaystyle {\mathfrak {s}}_{1},\dots ,{\mathfrak {s}}_{n}}$ o następujących własnościach:

1. Dla każdego ${\displaystyle k\in \{1,\dots n\}}$ wielokąt ${\displaystyle {\mathfrak {w}}_{k}}$ ma tyle samo boków, co ściana ${\displaystyle {\mathfrak {s}}_{k}.}$
2. Suma mnogościowa wielokątów ${\displaystyle {\mathfrak {w}}_{2},\dots ,{\mathfrak {w}}_{n}}$ jest równa wielokątowi ${\displaystyle {\mathfrak {w}}_{1}.}$
3. Dwa wielokąty mają wspólny wierzchołek (wspólną ścianę) wtedy i tylko wtedy, gdy odpowiadające im ściany mają wspólny wierzchołek (wspólną krawędź)

Konstrukcja diagramu Schlegela wielościanu zwykłego

W deformacji (homeomorfizmie) ${\displaystyle {\mathfrak {d}}}$ przekształcającej wielościan zwykły na kulę powierzchnia wielościanu jest przekształcana na sferę. Przy czym wierzchołki wielościanu są przekształcane na wierzchołki, a krawędzie na łuki położone na sferze^[3]. Ściany ${\displaystyle {\mathfrak {s}}_{1},\dots ,{\mathfrak {s}}_{n}}$ są w deformacji przekształcane na obszary ${\displaystyle {\mathfrak {o}}_{1},\dots ,{\mathfrak {o}}_{n},}$ które można uznać za wielokąty krzywoliniowe, a krawędzie i wierzchołki każdej ściany są przekształcane na łuki, których sumy tworzą brzeg odpowiadającego jej obszaru. Niech X będzie dowolnie wybranym punktem obszaru ${\displaystyle {\mathfrak {o}}_{1}.}$ Rzuty stereograficzne wielokątów krzywoliniowych ${\displaystyle {\mathfrak {o}}_{2},\dots ,{\mathfrak {o}}_{n}}$ to wielokąty krzywoliniowe ${\displaystyle {\mathfrak {v}}_{1},\dots ,{\mathfrak {v}}_{n},}$ których suma domknięć ma brzeg równy brzegowi obrazu obszaru ${\displaystyle {\mathfrak {o}}_{1}.}$ Otrzymany układ wielokątów krzywoliniowych tworzy diagram Schlegela wielościanu zwykłego.

Przypisy

Bibliografia

• Hilbert D., Cohn-Vossen S.: Geometria poglądowa. Warszawa: PWN, 1956.
• Coxeter H. S. M.: Wstęp do geometrii dawnej i nowej. Warszawa: PWN, 1967.
• Loeb A. L.: Space Structures. Addison-Wesley, 1976.