Domknięcie (topologia)

Domknięcie – operacja przyporządkowująca podzbiorowi przestrzeni topologicznej najmniejszy (w sensie inkluzji) zbiór domknięty zawierający ten podzbiór.

Definicja formalna

Niech ${\displaystyle (X,\tau )}$ będzie przestrzenią topologiczną. Domknięciem zbioru ${\displaystyle A\subseteq X}$ nazywamy najmniejszy w sensie inkluzji zbiór domknięty, oznaczany ${\displaystyle {\overline {A}}}$ lub ${\displaystyle \operatorname {cl} \;A}$ (od ang. closure), zawierający ${\displaystyle A.}$ Innymi słowy:

${\displaystyle \operatorname {cl} \;A=\bigcap \{F\subseteq X\colon A\subseteq F\land X\setminus F\in \tau \}.}$

Uwagi

• Operacja domknięcia (określona na zbiorze potęgowym przestrzeni topologicznej) jest dobrze określona, gdyż rodzina wszystkich zbiorów domkniętych zawierających dany podzbiór przestrzeni jest niepusta, ponieważ należy do niej cała przestrzeń.
• W dowolnym zbiorze ${\displaystyle X}$ można określić topologię, wyróżniając przy pomocy tzw. operacji Kuratowskiego rodzinę zbiorów domkniętych.
• Jeśli ${\displaystyle X}$ jest przestrzenią topologiczną oraz ${\displaystyle A\subseteq X,}$ to następujące warunki są równoważne:
  1. ${\displaystyle x\in \operatorname {cl} \;A,}$
  2. dla każdej bazy otoczeń ${\displaystyle {\mathcal {B}}(x)}$ punktu ${\displaystyle x}$ i każdego ${\displaystyle U\in {\mathcal {B}}(x)}$ mamy ${\displaystyle U\cap A\neq \varnothing ,}$
  3. dla pewnej bazy otoczeń ${\displaystyle {\mathcal {B}}(x)}$ punktu ${\displaystyle x}$ i każdego ${\displaystyle U\in {\mathcal {B}}(x)}$ mamy ${\displaystyle U\cap A\neq \varnothing .}$
• Jeśli ${\displaystyle (X,d)}$ jest przestrzenią metryczną oraz ${\displaystyle A\subseteq X,}$ to

${\displaystyle \operatorname {cl} \;A=\{x\in X\colon d(x,A)=0\},}$ gdzie przez ${\displaystyle d(x,A)}$ rozumie się odległość punktu od zbioru, tzn. ${\displaystyle d(x,A)=\inf\{d(x,a):a\in A\}.}$ Oznacza to, że zbiór ${\displaystyle \operatorname {cl} \;A}$ składa się z tych ${\displaystyle a\in X}$ dla których istnieje ciąg ${\displaystyle (x_{n})}$ elementów zbioru ${\displaystyle A}$ zbieżny do ${\displaystyle a.}$

• Jeżeli ${\displaystyle X}$ jest przestrzenią spełniającą pierwszy aksjomat przeliczalności (np. przestrzenią metryczną) oraz ${\displaystyle A}$ jest podzbiorem zbioru ${\displaystyle X,}$ to punkt z przestrzeni ${\displaystyle X}$ jest punktem domknięcia zbioru ${\displaystyle A}$ wtedy i tylko wtedy, gdy jest granicą pewnego ciągu elementów ze zbioru ${\displaystyle A.}$ W topologii wyróżnia się klasę tzw. przestrzeni Frécheta, które mają tę własność, że domknięcie dowolnego niepustego zbioru składa się z granic ciągów elementów tego zbioru.
• Dla dowolnej przestrzeni topologicznej ${\displaystyle X}$ punkt należy do domknięcia zbioru ${\displaystyle A\subset X}$ wtedy i tylko wtedy, gdy jest granicą pewnego ciągu uogólnionego o wyrazach ze zbioru ${\displaystyle A.}$

Własności

Niech ${\displaystyle X}$ będzie przestrzenią topologiczną oraz ${\displaystyle A,B\subseteq X.}$ Wówczas:

• ${\displaystyle \operatorname {cl} \;\varnothing =\varnothing ,}$
• ${\displaystyle A\subseteq \operatorname {cl} \;A,}$
• ${\displaystyle \operatorname {cl} (A\cup B)=\operatorname {cl} \;A\cup \operatorname {cl} \;B,}$
• ${\displaystyle \operatorname {cl} (\operatorname {cl} \;A)=\operatorname {cl} \;A}$ (idempotentność).

Dalsze własności

• ${\displaystyle \operatorname {cl} \;X=X,}$
• ${\displaystyle A}$ jest domknięty ${\displaystyle \iff A=\operatorname {cl} \;A,}$
• ${\displaystyle A\subset B\implies \operatorname {cl} \;A\subset \operatorname {cl} B}$ (monotoniczność),
• ${\displaystyle \operatorname {cl} (A\cap B)\subseteq \operatorname {cl} \;A\cap \operatorname {cl} \;B;}$ ta własność uogólnia się do przeliczalnej liczby zbiorów:
  • Ogólniej, jeśli ${\displaystyle (A_{i})_{i\in I}}$ jest dowolną rodziną podzbiorów ${\displaystyle X,}$ to
    ${\displaystyle \operatorname {cl} \;\bigcap _{i\in I}~A_{i}\subseteq \bigcap _{i\in I}~\operatorname {cl} \;A_{i}.}$
• Jeśli ${\displaystyle (A_{i})_{i\in I}}$ jest rodziną podzbiorów zbioru ${\displaystyle X,}$ to
  ${\displaystyle \bigcup _{i\in I}~\operatorname {cl} \;A_{i}\subset \operatorname {cl} \;\bigcup _{i\in I}~A_{i}.}$
• Jeśli ${\displaystyle (A_{i})_{i\in I}}$ jest rodziną lokalnie skończoną podzbiorów zbioru ${\displaystyle X,}$ to
  ${\displaystyle \bigcup _{i\in I}~\operatorname {cl} \;A_{i}=\operatorname {cl} \;\bigcup _{i\in I}~A_{i}.}$
• Domknięcie zbioru jest sumą mnogościową tego zbioru oraz jego brzegu.
• Jeśli ${\displaystyle Y}$ jest podprzestrzenią topologiczną ${\displaystyle X,}$ zawierającą ${\displaystyle A,}$ to domknięcie ${\displaystyle A}$ w przestrzeni ${\displaystyle Y}$ jest równe części wspólnej ${\displaystyle Y}$ i domknięcia ${\displaystyle A}$ w przestrzeni ${\displaystyle X{:}}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{Y}(A)=Y\cap \operatorname {cl} _{X}(A).}$
• Dla każdego ${\displaystyle A\subset X}$ mamy: ${\displaystyle \operatorname {cl} \;A=X\setminus \operatorname {Int} \;(X\setminus A).}$

Operacja domknięcia a topologia

Jeżeli operację brania domknięcia zbioru przyjmiemy jako pewną operację pierwotną na zbiorach, która spełnia cztery pierwsze własności, to może ona posłużyć do zdefiniowania topologii przez operację domknięcia w zbiorze ${\displaystyle X}$^[1].

Przykłady

• W topologii antydyskretnej (czyli takiej, w której jedynymi zbiorami otwartymi są ${\displaystyle \varnothing }$ i ${\displaystyle X}$), domknięciem dowolnego zbioru niepustego jest cała przestrzeń, innymi słowy, każdy niepusty podzbiór tej przestrzeni jest gęsty.
• W topologii dyskretnej (czyli takiej, w której każdy zbiór jest otwarty) domknięciem dowolnego zbioru jest on sam.
• W topologii euklidesowej, na prostej rzeczywistej domknięciem
  • przedziału otwartego ${\displaystyle (0,1)}$ jest przedział domknięty ${\displaystyle [0,1].}$
  • zbioru liczb wymiernych i liczb niewymiernych jest ${\displaystyle \mathbb {R} .}$
• W przestrzeniach metrycznych, domknięcie danego zbioru stanowią wszystkie granice ciągów elementów tego zbioru.

Zobacz też

• brzeg zbioru
• domknięcie normalne
• matroid
• pochodna zbioru
• wnętrze zbioru

Przypisy

Bibliografia

• Ryszard Engelking: Topologia Ogólna. Warszawa: PWN, 1976.