Dowód nie wprost

Dowód nie wprost (dowód apagogiczny, dowód sokratejski, łac. reductio ad absurdum – sprowadzenie do sprzeczności, łac. contradictio in contrarium – zaprzeczenie przeciwieństwa, gr. ἡ εις άτοπον απαγωγη hi eis atopon apagogi – sprowadzenie do niemożliwości) – forma dowodu logicznego, w którym z założenia o nieprawdziwości tezy wyprowadza się sprzeczność ze zdaniem prawdziwym (założenie nieprawdziwości twierdzenia prowadzi do sprzeczności), co pozwala przyjąć, że zaprzeczenie tezy jest fałszywe, a sama teza prawdziwa. Inaczej sposób dowodzenia twierdzeń przez wykazanie sprzeczności między zaprzeczeniem dowodzonej tezy a przyjętymi założeniami.

Dowód nie wprost jest często łatwiejszy do przeprowadzenia niż dowód wprost (wyprowadzający pewną tezę z założeń); stosowany jest szczególnie wtedy, gdy mamy do czynienia z subtelnymi własnościami obiektów, o których mówi twierdzenie.

Dowód nie wprost był znany już Sokratesowi, który chętnie go stosował jako część metody sokratycznej.

Przykład

Klasycznym przykładem dowodu nie wprost jest dowód Euklidesa istnienia nieskończenie wielu liczb pierwszych (dowód korzysta z podstawowego twierdzenia arytmetyki). Załóżmy mianowicie, że liczb pierwszych jest tylko skończenie wiele, i oznaczmy je (wszystkie) symbolami: p1, p2, p3, … pn Rozważając liczbę (p1 ⋅ p2 ⋅ p3 ⋅ … ⋅ pn) + 1 dochodzimy do wniosku, że:

  1. ma ona rozkład na liczby pierwsze, jak każda liczba naturalna oraz
  2. nie dzieli się przez żadną z liczb p1, p2, p3, … pn.

Stąd musi istnieć jeszcze jakaś liczba pierwsza oprócz wymienionych – ale to jest sprzeczne z założeniem, że p1, p2, p3, … pn to wszystkie liczby pierwsze. Uzyskanie sprzeczności z przyjętym wcześniej założeniem pozwala więc wywnioskować, że było ono fałszywe – czyli liczb pierwszych jest nieskończenie wiele.

Zobacz też

Linki zewnętrzne