Dwójkowy system liczbowy

Dwójkowy zegarek pokazujący godzinę 3:25

Dwójkowy system liczbowy lub też system binarny (NKB – naturalny kod binarny) – pozycyjny system liczbowy, którego podstawą jest liczba 2, a do zapisu liczb potrzebne są tylko dwie cyfry: 0 i 1[1].

Historia

Używał go już John Napier w XVI wieku, przy czym 0 i 1 zapisywał jako a i b[2]. Ojcem nowoczesnego systemu binarnego nazywany jest Gottfried Wilhelm Leibniz[3], autor opublikowanego w 1703 roku artykułu Explication de l’Arithmétique Binaire.

Zastosowanie

Jest używany w matematyce, informatyce i elektronice cyfrowej, gdzie minimalizacja liczby stanów do dwóch, pozwala na prostą implementację sprzętową odpowiadającą zazwyczaj stanom wyłączony i włączony oraz zminimalizowanie przekłamań danych[3].

Jak w każdym pozycyjnym systemie liczbowym, liczby zapisuje się tu jako ciągi cyfr, z których każda jest mnożną kolejnej potęgi podstawy systemu.

Np. liczba zapisana w dziesiętnym systemie liczbowym jako 10, w systemie dwójkowym przybiera postać 1010, gdyż:

Liczby w systemach niedziesiętnych oznacza się czasami indeksem dolnym zapisanym w systemie dziesiętnym, a oznaczającym podstawę danego systemu. W celu podkreślenia, że liczba jest dziesiętna można również napisać obok niej indeks, np.

W systemie dwójkowym można przedstawiać również liczby rzeczywiste. Na przykład liczby dziesiętne o podstawie 2 można zapisać jako:

ułamek zwykły:

(nawiasem oznaczono okres ułamka).

Liczby niewymierne mają rozwinięcie nieokresowe w każdym systemie pozycyjnym:

Pierwsze dziesięć liczb w systemie dwójkowym
w systemie
dziesiętnym
w systemie
dwójkowym
11
210
311
4100
5101
6110
7111
81000
91001
101010

Zamiany systemu

Zamianę z systemu dwójkowego na inny można wykonać poprzez zapisanie liczby jako sumy potęg liczby 2 pomnożonych przez wartość cyfry w systemie, na który przekształcamy. Przykładowo przy zamianie liczby na system dziesiętny:


Cyfra 1 podobnie jak w systemie dziesiętnym ma wartość zależną od swojej pozycji – na końcu oznacza 1, na drugiej pozycji od końca 2, na trzeciej 4, na czwartej 8 itd.

Ponieważ oraz aby obliczyć wartość liczby zapisanej dwójkowo, wystarczy zsumować potęgi dwójki odpowiadające cyfrom 1 w zapisie.

Zamiana liczby w systemie dziesiętnym na liczbę w systemie dwójkowym może przebiegać według wyżej opisanej zasady, czyli:

Rozbicie na sumę potęg liczby 2 na przykład

Bądź też przez wyznaczanie reszt w wyniku kolejnych dzieleń liczby przez 2:

reszty 0 – 0 to cyfra jedności,
reszty 1 – 1 to cyfra drugiego rzędu,
reszty 1,
reszty 1,
reszty 1.

Aby obliczyć wartość dwójkową liczby przepisujemy od końca cyfry reszt. Tak więc

Działania na liczbach w systemie dwójkowym

Działania na liczbach w systemie dwójkowym są odpowiednikiem działań w systemie dziesiętnym i opierają się na elementarnych działaniach:

Przykład dodawania w systemie dwójkowym.

                  111111
                  1111111
              +     10011
                 10010010

Przykład odejmowania w systemie dwójkowym:

                  1111111
              -     10011
                  1101100

A w takiej sytuacji pożyczamy jedynkę:

                    11101
               -    10110
                    00111

(zera z lewej strony można wykreślić).

Mnożenie i dzielenie wykonuje się w systemie dwójkowym także podobnie jak w systemie dziesiętnym.

Zobacz też

Pochodne kodowania liczb całkowitych:

Przypisy

  1. dwójkowy system liczbowy, [w:] Encyklopedia PWN [online] [dostęp 2021-09-30].
  2. Human choice and computers, 2002, ISBN 1-4020-7185-X.
  3. a b Edward Kofler, Z dziejów matematyki, Warszawa: Wiedza Powszechna, 1956, s. 27.

Media użyte na tej stronie