Dwójkowy system liczbowy

Dwójkowy zegarek pokazujący godzinę 3:25

Dwójkowy system liczbowy lub też system binarny (NKB – naturalny kod binarny) – pozycyjny system liczbowy, którego podstawą jest liczba 2, a do zapisu liczb potrzebne są tylko dwie cyfry: 0 i 1^[1].

Historia

Używał go już John Napier w XVI wieku, przy czym 0 i 1 zapisywał jako a i b^[2]. Ojcem nowoczesnego systemu binarnego nazywany jest Gottfried Wilhelm Leibniz^[3], autor opublikowanego w 1703 roku artykułu Explication de l’Arithmétique Binaire.

Zastosowanie

Jest używany w matematyce, informatyce i elektronice cyfrowej, gdzie minimalizacja liczby stanów do dwóch, pozwala na prostą implementację sprzętową odpowiadającą zazwyczaj stanom wyłączony i włączony oraz zminimalizowanie przekłamań danych^[3].

Jak w każdym pozycyjnym systemie liczbowym, liczby zapisuje się tu jako ciągi cyfr, z których każda jest mnożną kolejnej potęgi podstawy systemu.

Np. liczba zapisana w dziesiętnym systemie liczbowym jako 10, w systemie dwójkowym przybiera postać 1010, gdyż:

${\displaystyle 1\cdot 2^{3}+0\cdot 2^{2}+1\cdot 2^{1}+0\cdot 2^{0}=8+2=10.}$

Liczby w systemach niedziesiętnych oznacza się czasami indeksem dolnym zapisanym w systemie dziesiętnym, a oznaczającym podstawę danego systemu. W celu podkreślenia, że liczba jest dziesiętna można również napisać obok niej indeks, np.

${\displaystyle 10101_{2}=21_{10}}$

W systemie dwójkowym można przedstawiać również liczby rzeczywiste. Na przykład liczby dziesiętne o podstawie 2 można zapisać jako:

${\displaystyle 0{,}101_{2}=0\cdot 2^{0}+1\cdot 2^{-1}+0\cdot 2^{-2}+1\cdot 2^{-3}=0{,}625_{10}}$

${\displaystyle 0{,}00(1001)_{2}=0{,}15_{10}}$

${\displaystyle 0{,}28_{10}=0{,}(01000111101011100001)_{2}}$

ułamek zwykły:

${\displaystyle {\frac {101_{2}}{111_{2}}}={\frac {5_{10}}{7_{10}}}=0{,}(101)_{2}=0{,}(714285)_{10}}$

(nawiasem oznaczono okres ułamka).

Liczby niewymierne mają rozwinięcie nieokresowe w każdym systemie pozycyjnym:

${\displaystyle {\sqrt {2_{10}}}={\sqrt {10_{2}}}=1{,}0110101000001001111001100110011111110\dots _{2}}$

Zamiany systemu

Zamianę z systemu dwójkowego na inny można wykonać poprzez zapisanie liczby jako sumy potęg liczby 2 pomnożonych przez wartość cyfry w systemie, na który przekształcamy. Przykładowo przy zamianie liczby na system dziesiętny:

${\displaystyle 11110_{2}=1\cdot 2^{4}+1\cdot 2^{3}+1\cdot 2^{2}+1\cdot 2^{1}+0\cdot 2^{0}=}$
${\displaystyle =1\cdot 16+1\cdot 8+1\cdot 4+1\cdot 2+0\cdot 1=16+8+4+2=30}$

Cyfra 1 podobnie jak w systemie dziesiętnym ma wartość zależną od swojej pozycji – na końcu oznacza 1, na drugiej pozycji od końca 2, na trzeciej 4, na czwartej 8 itd.

Ponieważ ${\displaystyle 0\cdot 2^{n}=0}$ oraz ${\displaystyle 1\cdot 2^{n}=2^{n},}$ aby obliczyć wartość liczby zapisanej dwójkowo, wystarczy zsumować potęgi dwójki odpowiadające cyfrom 1 w zapisie.

Zamiana liczby w systemie dziesiętnym na liczbę w systemie dwójkowym może przebiegać według wyżej opisanej zasady, czyli:

${\displaystyle 30_{10}=(3\cdot 10+0\cdot 1)_{10}=(11\cdot 1010+0\cdot 1)_{2}=11110_{2}}$

Rozbicie na sumę potęg liczby 2 na przykład

${\displaystyle 30_{10}=(16+8+4+2+0)_{10}=(2^{4}+2^{3}+2^{2}+2^{1}+0)_{10}=(10000+1000+100+10+0)_{2}=11110_{2}}$

Bądź też przez wyznaczanie reszt w wyniku kolejnych dzieleń liczby przez 2:

${\displaystyle {\tfrac {30}{2}}=15}$ reszty 0 – 0 to cyfra jedności,

${\displaystyle {\tfrac {15}{2}}=7}$ reszty 1 – 1 to cyfra drugiego rzędu,

${\displaystyle {\tfrac {7}{2}}=3}$ reszty 1,

${\displaystyle {\tfrac {3}{2}}=1}$ reszty 1,

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}=0}$ reszty 1.

Aby obliczyć wartość dwójkową liczby przepisujemy od końca cyfry reszt. Tak więc ${\displaystyle 30_{10}=11110_{2}.}$

Działania na liczbach w systemie dwójkowym

Działania na liczbach w systemie dwójkowym są odpowiednikiem działań w systemie dziesiętnym i opierają się na elementarnych działaniach:

• ${\displaystyle 1+0=1}$
• ${\displaystyle 1+1=10}$
• ${\displaystyle 1\cdot 0=0}$
• ${\displaystyle 1\cdot 1=1}$
• ${\displaystyle 10-1=1}$

Przykład dodawania w systemie dwójkowym.

                  111111
                  1111111
              +     10011
                 10010010

Przykład odejmowania w systemie dwójkowym:

                  1111111
              -     10011
                  1101100

A w takiej sytuacji pożyczamy jedynkę:

                    11101
               -    10110
                    00111

(zera z lewej strony można wykreślić).

Mnożenie i dzielenie wykonuje się w systemie dwójkowym także podobnie jak w systemie dziesiętnym.

Zobacz też

• skośny system dwójkowy
• zegar binarny
• ósemkowy system liczbowy
• szesnastkowy system liczbowy
• dziesiętny system liczbowy

Pochodne kodowania liczb całkowitych:

• kod uzupełnieniowy
  • kod uzupełnień do jedności
  • kod uzupełnień do dwóch
• kod znak-moduł

Przypisy