Dwumian Newtona

Dwumian Newtona – tradycyjna nazwa twierdzenia nazywanego także wzorem dwumianowym (dwumiennym) lub wzorem Newtona, zgodnie z którym potęgę dwumianu ${\displaystyle (x+y)^{n}}$ można rozwinąć w sumę jednomianów postaci ${\displaystyle ax^{k}y^{l}.}$ W każdym z tych jednomianów współczynnik ${\displaystyle a}$ jest dodatnią liczbą całkowitą, a wykładniki przy ${\displaystyle x}$ oraz ${\displaystyle y}$ sumują się do ${\displaystyle n.}$ Współczynniki ${\displaystyle a}$ przy jednomianach są symbolami Newtona i nazywane są współczynnikami dwumianowymi.

Twierdzenie

Współczynniki dwumianowe pojawiają się jako elementy trójkąta Pascala

Jeśli ${\displaystyle x,y}$ są dowolnymi elementami dowolnego pierścienia przemiennego^[a] (np. liczby całkowite, wymierne, rzeczywiste, zespolone), to każdą naturalną potęgę dwumianu ${\displaystyle x+y}$ można rozłożyć na sumę postaci

${\displaystyle (x+y)^{n}={\binom {n}{0}}x^{n}+{\binom {n}{1}}x^{n-1}y+{\binom {n}{2}}x^{n-2}y^{2}+{\binom {n}{3}}x^{n-3}y^{3}+\dots +{\binom {n}{n}}y^{n},}$

gdzie ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$ oznacza odpowiedni współczynnik dwumianowy.

Przyjmując ${\displaystyle x^{0}=y^{0}=1}$ (także w przypadku, gdy ${\displaystyle x=0}$ lub ${\displaystyle y=0}$), można powyższy wzór zapisać za pomocą notacji sumacyjnej

${\displaystyle (x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{n-k}y^{k}.}$

Uwagi

1. W szczególności dla ${\displaystyle x=1}$ lub ${\displaystyle y=1}$ dostaniemy wzór na tzw. szereg Newtona ${\displaystyle (1+x)^{n}=\sum _{k=0}^{n}\;{n \choose k}\;x^{k}.}$
2. Współczynniki dwumianowe są elementami ${\displaystyle n+1}$ wiersza w trójkącie Pascala.

Przykłady

${\displaystyle (x+y)^{1}=x+y}$

${\displaystyle (x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}}$

${\displaystyle (x+y)^{3}=x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3}}$

Dowód twierdzenia

Dowód na zasadzie indukcji matematycznej.

Dla ${\displaystyle n=1}$ jest

${\displaystyle (x+y)^{1}=x+y={\binom {1}{0}}xy^{0}+{\binom {1}{1}}x^{0}y=\sum _{k=0}^{1}{\binom {1}{k}}x^{1-k}y^{k}.}$

Załóżmy, że wzór zachodzi dla pewnego ${\displaystyle n.}$ Wtedy dla ${\displaystyle n+1}$ mamy

${\displaystyle {\begin{aligned}(x+y)^{n+1}&=(x+y)(x+y)^{n}\\&=(x+y)\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{n-k}y^{k}\\&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{n-k+1}y^{k}+\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{n-k}y^{k+1}\\&={\binom {n}{0}}x^{n+1}+\sum _{k=1}^{n}\left[{\binom {n}{k}}+{\binom {n}{k-1}}\right]x^{n-k+1}y^{k}+{\binom {n}{n}}y^{n+1}\\&={\binom {n+1}{0}}x^{n+1}+\sum _{k=1}^{n}{\binom {n+1}{k}}x^{(n+1)-k}y^{k}+{\binom {n+1}{n+1}}y^{n+1}\\&=\sum _{k=0}^{n+1}{\binom {n+1}{k}}x^{(n+1)-k}y^{k},\end{aligned}}}$

co kończy dowód.

Historia

Wzór oraz trójkątne uporządkowanie współczynników dwumianowych przypisuje się często Blaise’owi Pascalowi, który opisał je w XVII wieku, ale były one znane wielu matematykom żyjącym przed nim.

W IV w. p.n.e. grecki matematyk Euklides znał przypadek szczególny twierdzenia dla wykładnika nie większego niż 2^[1][2], podobnie jak żyjący w III w. p.n.e. hinduski matematyk Pingala, który znał twierdzenie dla wyższych wykładników. Ogólniejsze twierdzenie dwumianowe i tzw. „trójkąt Pascala” były znane żyjącym:

• w X w. n.e. – matematykowi hinduskiemu Halajudzie,
• w XI w. n.e. – matematykowi perskiemu Omarowi Chajjamowi,
• w XIII w. – matematykowi chińskiemu Yang Hui,

którzy uzyskali podobne wyniki^[3].

Uogólnienie

Korzystając z uogólnionego symbolu Newtona, możemy wyprowadzić wzór na dowolną (rzeczywistą lub zespoloną) ${\displaystyle r}$-tą potęgę sumy ${\displaystyle x+y,}$ w której ${\displaystyle x,y}$ są rzeczywiste, ${\displaystyle y>0}$ oraz ${\displaystyle |{\tfrac {x}{y}}|<1{:}}$

${\displaystyle (x+y)^{r}=\sum _{k=0}^{\infty }{r \choose k}x^{k}y^{r-k}.}$

Uwagi

Przypisy