Dychotomia

Dychotomia (gr. dichotomos – przecięty na dwie części) – dwudzielność; podział na dwie części, wzajemnie się wykluczające i uzupełniające do całości.

Podział dychotomiczny zbioru X polega na wyróżnieniu w nim dwóch podzbiorów – A i B – które są rozłączne (nie mają wspólnych elementów) i wyczerpują zbiór X (w skład X nie wchodzi nic spoza A i B, każdy element zbioru X należy albo do podzbioru A, albo do B).

Przykłady

Szereg twierdzeń w matematyce jest formułowanych w postaci dychotomii – stwierdzenia, że jedna (i tylko jedna) z dwóch własności przysługuje rozważanym obiektom. Na przykład, każda liczba naturalna jest albo parzysta, albo nieparzysta; każde trzy punkty albo leżą na jednej prostej, albo są wierzchołkami trójkąta o dodatnim polu.

Twierdzenia tego typu wzbudzają dodatkowe zainteresowanie, jeśli jeden z warunków mówi, że badany obiekt jest pod pewnym względem bardzo „prosty”, a drugi postuluje, że obiekt ten jest bardzo „złożony”. Na przykład:

• jeśli B jest nieskończenie wymiarową przestrzenią Banacha, to B zawiera podprzestrzeń z bazą bezwarunkową albo B ma podprzestrzeń dziedzicznie nierozkładalną^[1],
• każdy analityczny podzbiór prostej rzeczywistej jest albo przeliczalny, albo zawiera homeomorficzną kopię zbioru Cantora, 
• jeśli ${\displaystyle {\mathbb {P} }}$ jest pojęciem forsingu, które jest Suslin-ccc, to albo ${\displaystyle {\mathbb {P} }}$ nie dodaje liczby nieograniczonej, albo ${\displaystyle {\mathbb {P} }}$ dodaje liczbę Cohena^[2].

Przypisy