Dyfeomorfizm

Obraz siatki prostokątnej na kwadracie w przekształceniu dyfeomorficznym kwadratu na siebie. Intuicyjnie: przekształcenie to polega na zdeformowaniu siatki prostokątnej bez rozrywania i klejenia. Każda taka deformacja jest homeomorfizmem. Gdy deformacja ta jest funkcją klasy ${\displaystyle C^{1}}$ – a więc jest ciągła i jej pochodna jest ciągła – to funkcja ta jest dyfeomorfizmem. Dyfeomerfizmem nie byłaby deformacja z tworzeniem ostrych zagięć (choć byłby to homeomorfizm).

Dyfeomorfizm – izomorfizm rozmaitości różniczkowych^[1], tj. odwzorowanie bijektywne pomiędzy rozmaitościami różniczkowymi, które jest różniczkowalne oraz takie, iż odwzorowanie do niego odwrotne jest również różniczkowalne.

Definicja

Niech ${\displaystyle X}$ i ${\displaystyle Y}$ będą przestrzeniami unormowanymi oraz niech ${\displaystyle D}$ będzie niepustym, otwartym podzbiorem przestrzeni ${\displaystyle X.}$

Przekształcenie ${\displaystyle F\colon D\to Y}$ nazywane jest dyfeomorfizmem, gdy

1. obraz ${\displaystyle F(D)}$ jest podzbiorem otwartym w ${\displaystyle Y,}$
2. ${\displaystyle F}$ jest bijekcją,
3. ${\displaystyle F}$ i ${\displaystyle F^{-1}}$ są klasy ${\displaystyle C^{1}}$ (gdzie ${\displaystyle F^{-1}\colon F(D)\to D}$ jest funkcją odwrotną do ${\displaystyle F}$).

Z definicji wynika, że jeśli ${\displaystyle F}$ jest dyfeomorfizmem, to ${\displaystyle F}$ i ${\displaystyle F^{-1}}$ są odwzorowaniami regularnymi.

Gdy ${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{m},}$ ${\displaystyle Y=\mathbb {R} ^{k},}$ to dyfeomorfizmy są po prostu zanurzeniami homeomorficznymi klasy ${\displaystyle C^{1}}$ o różniczce maksymalnego rzędu, których funkcja odwrotna jest klasy ${\displaystyle C^{1}}$ w obrazie.

W niektórych publikacjach od dyfeomorfizmu wymaga się, by był funkcją nieskończenie wiele razy różniczkowalną^[2].

Dyfeomorfizm przywiedlny

Niech ${\displaystyle D}$ będzie otwartym podzbiorem ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}.}$ Mówi się, że dyfeomorfizm

${\displaystyle \Phi =(\varphi _{1},\dots ,\varphi _{m})\colon D\to \mathbb {R} ^{m}}$

jest przywiedlny, gdy istnieją takie ${\displaystyle i,j\leqslant m,}$ że

${\displaystyle \varphi _{i}(x_{1},\dots ,x_{m})=x_{j}}$ dla ${\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{m})\in D.}$

Dyfeomorfizmy przywiedlne znajdują zastosowanie w dowodzie twierdzenia o całkowaniu przez podstawienie dla funkcji całkowalnych w sensie Lebesgue’a.

Dyfeomorfizm zachowujący orientację

Funkcja

${\displaystyle \varphi \colon (a,b)\to (\alpha ,\beta )}$

jest dyfeomorfizmem, gdy jest taką bijekcją klasy ${\displaystyle C^{1},}$ że

${\displaystyle \varphi '(t)\neq 0}$ dla ${\displaystyle t\in (a,b)}$

(por. definicję dla ${\displaystyle X=Y=\mathbb {R} ^{m}}$). Dyfeomorfizm ${\displaystyle \varphi }$ zachowuje orientację (osi liczbowej), jeśli

${\displaystyle \varphi '>0}$

i zmienia orientację w przeciwnym wypadku, tzn. gdy

${\displaystyle \varphi '<0.}$

Prawdziwe jest następujące twierdzenie teorii hiperpowierzchni dla dyfeomorfizmów zachowujących orientację:

Twierdzenie

Niech ${\displaystyle G}$ będzie otwartym podzbiorem ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle \Gamma \colon [a,b]\to G}$ będzie drogą kawałkami gładką oraz ${\displaystyle \varphi \colon (a,b)\to (\alpha ,\beta )}$ będzie dyfeomorfizmem. Wówczas dla każdej formy ${\displaystyle \Omega \in F_{0}^{1}(G;Y)}$

${\displaystyle {}\,\int \limits _{\Gamma \circ \varphi }\Omega =\varepsilon (\varphi )\int \limits _{\Gamma }\Omega ,}$

gdzie:

${\displaystyle \varepsilon (\varphi )=+1,}$ gdy ${\displaystyle \varphi }$ zachowuje orientację,

${\displaystyle \varepsilon (\varphi )=-1,}$ gdy ${\displaystyle \varphi }$ zmienia orientację.

Grupa dyfeomorfizmów

Złożenie dyfeomorfizmów jest dyfeomorfizmem. Automorfizm rozmaitości różniczkowej ${\displaystyle M}$ jest dyfeomorfizmem rozmaitości ${\displaystyle M}$ na siebie. Za pomocą działania składania automorfizmów można utworzyć na rozmaitości ${\displaystyle M}$ grupę automorfizmów. Grupę tę oznacza się symbolem ${\displaystyle \operatorname {Diff} (M).}$

Ważne dyfeomorfizmy

Dyfeomorfizm biegunowy

Niech ${\displaystyle B=(0,+\infty )\times (0,2\pi )\subset \mathbb {R} ^{2}.}$ Funkcja określona wzorem

${\displaystyle b(r,\phi )=(r\cdot \cos \phi ,r\cdot \sin \phi )}$

przeprowadza ${\displaystyle B}$ na obszar ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\setminus \left\{(x,0)\in \mathbb {R} ^{2}:x\geqslant 0\right\}.}$ Dyfeomorfizm ten wprowadza współrzędne biegunowe. Jakobian tego przekształcenia ${\displaystyle J_{B}=r.}$

Dyfeomorfizm sferyczny

Niech ${\displaystyle S=(0,+\infty )\times (0,2\pi )\times (0,\pi )\subset \mathbb {R} ^{3}.}$ Funkcja określona wzorem

${\displaystyle s(r,\phi ,\theta )=\left(r\cdot \cos \phi \cdot \sin \theta ,\,r\cdot \sin \phi \cdot \sin \theta ,r\cdot \cos \theta \right)}$

przeprowadza zbiór ${\displaystyle S}$ na zbiór ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\setminus \left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}:x\leqslant 0,y=0\right\}.}$ Dyfeomorfizm ten wprowadza współrzędne sferyczne. Jakobian tego przekształcenia ${\displaystyle J_{S}=r^{2}\sin \theta .}$

Dyfeomorfizm walcowy

Niech ${\displaystyle W=(0,+\infty )\times (0,2\pi )\times \mathbb {R} \subset \mathbb {R} ^{3}.}$ Funkcja określona wzorem

${\displaystyle w(\rho ,\phi ,z)=(\rho \cdot \cos \phi ,\rho \cdot \sin \phi ,z)}$

przeprowadza ${\displaystyle W}$ na obszar ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\setminus \left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}:x\leqslant 0,y=0\right\}.}$ Dyfeomorfizm ten wprowadza współrzędne walcowe. Jakobian tego przekształcenia ${\displaystyle J_{W}=\rho .}$

Twierdzenie o lokalnym dyfeomorfizmie

Niech ${\displaystyle X}$ i ${\displaystyle Y}$ będą przestrzeniami Banacha, ${\displaystyle D}$ będzie niepustym, otwartym podzbiorem ${\displaystyle X}$ oraz będzie dane odwzorowanie ${\displaystyle F\colon D\to Y}$ klasy ${\displaystyle C^{1}.}$ Jeśli ${\displaystyle F}$ jest różniczkowalne w punkcie ${\displaystyle x_{0}\in D}$ oraz pochodna ta jest izomorfizmem (liniowym) ${\displaystyle X}$ na ${\displaystyle Y,}$ to istnieje takie otoczenie ${\displaystyle U\subseteq D}$ punktu ${\displaystyle x_{0},}$ że odwzorowanie ${\displaystyle F|_{U}}$ jest dyfeomorfizmem.

Prostym wnioskiem z twierdzenia o lokalnym dyfeomorfizmie jest fakt, iż odwzorowanie regularne przestrzeni Banacha jest odwzorowaniem otwartym. Twierdzenie to wykorzystywane jest także dla dowodu twierdzenia o funkcji uwikłanej.

Przypisy

Bibliografia

• Witold Kołodziej: Analiza matematyczna. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1979.