Dylatacja

Dylatacja – przekształcenie geometryczne, przeprowadzające dowolną prostą na prostą do niej równoległą. Inaczej mówiąc, jest to kolineacja, w której każda prosta jest równoległa do swojego obrazu^[1].

Własności

• Dwa dane odcinki ${\displaystyle AB}$ i ${\displaystyle A'B',}$ leżące na prostych równoległych, określają dokładnie jedną dylatację ${\displaystyle AB\to A'B',}$ dla której obrazem punktu ${\displaystyle A}$ jest punkt ${\displaystyle A',}$ a obrazem punktu ${\displaystyle B}$ jest punkt ${\displaystyle B'}$^[2].
• Odwrotność dylatacji ${\displaystyle AB\to A'B'}$ jest dylatacją ${\displaystyle A'B'\to AB}$^[3].
• Dylatacja ${\displaystyle AB\to AB}$ jest przekształceniem tożsamościowym (czyli identycznością). Dylatacja ${\displaystyle AB\to BA}$ jest półobrotem, czyli symetrią środkową (dokoła środka odcinka AB). Jeżeli czworokąt ${\displaystyle ABB'A'}$ jest równoległobokiem, to dylatacja ${\displaystyle AB\to A'B'}$ jest translacją (czyli przesunięciem równoległym)^[3].
• Jeżeli dylatacja ma punkt stały, to obrazem prostej przechodzącej przez ten punkt jest ta sama prosta.
• Każda dylatacja, która nie jest przesunięciem równoległym ma punkt stały, a jeśli nie jest identycznością, to jest to jedyny jej punkt stały^[3].
• Jeżeli punkt ${\displaystyle P}$ i jego obraz dylatacyjny ${\displaystyle P'}$ nie pokrywają się (tzn. ${\displaystyle P}$ nie jest stały), to obrazem prostej ${\displaystyle PP'}$ jest ona sama.
• Jeżeli dwie proste pokrywają się ze swoimi obrazami, to ich przecięcie (o ile istnieje) jest punktem stałym.

Z własności tych wynika klasyfikacja dylatacji ze względu na liczbę punktów stałych:

• Jeżeli dylatacja ma co najmniej dwa różne punkty stałe, to jest identycznością,
• Jeżeli dylatacja ma dokładnie jeden punkt stały, to jest jednokładnością,
• Jeżeli dylatacja nie ma punktu stałego, to jest translacją.

Zbiór dylatacji jest grupą ze względu na ich składanie i podgrupą grupy podobieństw parzystych.

Niezmiennik definiujący grupę dylatacji:

• kierunek wektora.

Ważniejsze niezmienniki dylatacji:

• orientacja,
• stosunek długości wektorów,
• stosunek pól figur,
• stosunek objętości figur,
• współliniowość punktów.

Zobacz też

• kolineacja
• podobieństwo

Przypisy

Bibliografia

• Marek Kordos, Lesław Włodzimierz Szczerba: Geometria dla nauczycieli. Warszawa: PWN, 1976.
• H.S.M. Coxeter: Wstęp do geometrii dawnej i nowej. Warszawa: PWN, 1967.
• M. Berger: Геометрия (tłum. ros.). Moskwa: Мир, 1984.
• A.M. Комиссарук: Аффинная геометрия. Минсκ: Вышэйшая школа, 1977.