Działanie (fizyka)

Działanie – podstawowe pojęcie mechaniki teoretycznej. Wyraża się w jednostkach iloczynu energii i czasu bądź pędu i drogi. Działanie to całka lagranżjanu układu między dwoma stanami^[1]:

${\displaystyle S=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}Ldt.}$

Obowiązuje wariacyjna zasada najmniejszego działania analogiczna do zasady najmniejszego czasu.

Funkcja działania ${\displaystyle S(\mathbf {q} ,t)}$ to całka dana wzorem:

${\displaystyle S_{\mathbf {q} _{0},t_{0}}(\mathbf {q} ,t)=\int _{\gamma }Ldt,}$

gdzie ${\displaystyle \mathbf {q} }$ to współrzędne uogólnione, a ${\displaystyle \gamma }$ to ekstremala łącząca punkty ${\displaystyle (\mathbf {q} ,t)}$ i ${\displaystyle (\mathbf {q} _{0},t_{0}).}$ Definicja ta ma sens pod warunkiem, że ekstremale wychodzące z punktu ${\displaystyle (\mathbf {q} ,t)}$ więcej się nie przecinają.

Funkcja działania spełnia równanie Hamiltona-Jacobiego^[2].

Równania Eulera-Lagrange’a

Równania Eulera-Lagrange’a otrzymuje się z warunku, że pochodne funkcjonalne działania ${\displaystyle S}$ względem funkcji ${\displaystyle q_{i}(t)}$ zerują się, tj.

${\displaystyle {\frac {\delta {\mathcal {S}}}{\delta q_{i}(t)}}=0,\quad i=1,\dots ,n,}$

co implikuje równanie Eulera-Lagrange’a:

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\right)-{\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}=0,}$

którego rozwiązaniem są funkcje ${\displaystyle x(t),}$ dla których ${\displaystyle S}$ jest stacjonarne. To znaczy, że dla niewielkich odchyleń od ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle S}$ zmienia się nieznacznie. Jest to warunkiem koniecznym, żeby ${\displaystyle S}$ przyjmowało dla ${\displaystyle x(t)}$ ekstremum.

Przykład: Cząstka swobodna

Cząstka swobodna o masie m, mająca prędkość v porusza się w przestrzeni Euklidesa po prostej. Wykażemy to korzystając z równań Eulera-Lagrange’a zapisanych we współrzędnych biegunowych.

(1) Dla cząstki swobodnej potencjał jest zerowy, dlatego Lagrangian jest równy energii kinetycznej. We współrzędnych (x, y) ma on postać

${\displaystyle L={\frac {1}{2}}mv^{2}={\frac {1}{2}}m\left({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}\right),}$

gdzie kropka oznacza różniczkownie po parametrze, zadającym krzywą. Zwykle jest to czas.

(2) We współrzędnych biegunowych Lagrangian ma postać:

${\displaystyle L={\frac {1}{2}}m\left({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\varphi }}^{2}\right).}$

Równania Eulera-Lagrange’a separują się na dwa równania, zależne od współrzędnej radialnej ${\displaystyle r}$ oraz kąta ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {r}}}}\right)-{\frac {\partial L}{\partial r}}&=0&&\Rightarrow &{\ddot {r}}-r{\dot {\varphi }}^{2}&=0\\{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {\varphi }}}}\right)-{\frac {\partial L}{\partial \varphi }}&=0&&\Rightarrow &{\ddot {\varphi }}+{\frac {2}{r}}{\dot {r}}{\dot {\varphi }}&=0\end{aligned}}}$

(3) Rozwiązania tych równań mają postać:

${\displaystyle {\begin{aligned}r\cos \varphi &=at+b,\\r\sin \varphi &=ct+d,\end{aligned}}}$θ

gdzie ${\displaystyle a,\,b,\,c,\,d}$ – stałe zależne od warunków początkowych. Rozwiązane to przedstawia linie prostą we współrzędnych biegunowych.

Zobacz też

• grawitacyjna całka działania
• moment pędu

Przypisy