Dziesięciokąt foremny

Dziesięciokąt foremny

Dziesięciokąt foremny (znany też pod grecką nazwą dekagon) – wielokąt, który ma dziesięć boków o jednakowej długości i dziesięć kątów równej miary. Każdy kąt ma miarę 144°, zaś suma miar wszystkich kątów jest równa 1440°.

Wzory i własności

W poniższych zapisach ${\displaystyle a}$ oznacza długość boku dziesięciokąta foremnego.

• Pole powierzchni dziesięciokąta foremnego określa wzór

${\displaystyle S={\frac {5}{2}}a^{2}\operatorname {ctg} {\frac {\pi }{10}}={\frac {5a^{2}}{2}}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\approx 7{,}6942\cdot a^{2}}$

• Długość promienia okręgu opisanego na dziesięciokącie foremnym wyraża się wzorem

${\displaystyle R={\frac {a}{2}}\left(1+{\sqrt {5}}\right)=a\varphi }$

• Promień okręgu wpisanego w dziesięciokąt foremny ma długość

${\displaystyle r={\frac {a}{2}}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}}$

• Bok dziesięciokąta foremnego jest złotą częścią promienia okręgu opisanego na tym wielokącie.

${\displaystyle a={\frac {R\left({\sqrt {5}}-1\right)}{2}}}$

• Dziesięciokąt foremny jest możliwy do skonstruowania przy użyciu cyrkla i linijki (wynika to z tw. Gaussa-Wantzela).

Przykładowa konstrukcja dziesięciokąta foremnego

Zobacz też

• wielokąt foremny